Универсальное пространство

Универсальное пространство (относительно некоторого класса топологических пространств $𝒦$) — топологическое пространство $X$ , такое, что $X$ принадлежит классу $𝒦$ и каждое пространство $Y$ из класса $𝒦$ вкладывается в $X$, то есть $Y$ гомеоморфно подпространству пространства $X$. С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространстваШаблон:Sfn. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображенииШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры

Примеры универсальных пространств (далее $𝔪$ — кардинал, такой, что $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$, то есть $𝔪$ бесконечный):

• Александровский куб $F^{𝔪}$ — $𝔪$-я степень связного двоеточия $F$ (то есть пространства $\{0;1\}$ с топологией, состоящей из пустого множества, всего пространства и множества $\{0\}$) — универсален для всех [[T0-пространство|Шаблон:Math-пространств]] веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.
• Тихоновский куб $I^{𝔪}$ — $𝔪$-я степень единичного отрезка $I=[0;1]$ — универсален для всех тихоновских пространств веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$ и для всех компактных хаусдорфовых пространств веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.
• Гильбертов кирпич $I^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ — счётная степень единичного отрезка — универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространствШаблон:Sfn.
• $J(𝔪{)}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ — счётная степень ежа колючести $𝔪$ — универсально для всех метризуемых пространств веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.
• Пространство рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (с естественной топологией) универсально для всех счётных метризуемых пространствШаблон:Sfn.
• Канторов куб $D^{𝔪}$ — $𝔪$-я степень двухточечного дискретного пространства — универсален для всех нульмерных пространств веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.
• Пространство Бэра $B(𝔪)=D(𝔪{)}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ — счётная степень дискретного пространства мощности $𝔪$ — универсально для всех [[нульмерное в смысле Ind пространство|нульмерных в смысле Шаблон:Math]] метризуемых пространств веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.
• Подпространство евклидова пространства ${ℝ}^{2n+1}$, образованное всеми точками, не более чем $n$ координат которых рациональны, универсально для всех метризуемых сепарабельных пространств размерности не больше $n$Шаблон:Sfn.
• Существует компакт, универсальный для всех тихоновских пространств $X$ веса $𝔪⩾{\mathrm{\aleph }}_0$, таких, что $\dim X⩽n$ (то есть размерность Лебега $X$ не больше $n$)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга