Ёж (топология)

Шаблон:Другие значения Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$, единичного полуинтервала $\mathbb{P}=(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности $𝔪$, называемой колючестью ежа, как:

$J(𝔪)=\{O\}\cup (\mathbb{P}\times S)$,

с введением метрики следующим образом:

1. $d(O,(x,s))=x$
2. $d((x,s_1),(y,s_2))=\{\begin{array}{cc}|x-y|,& s_1=s_2\\ x+y,& s_1\ne s_2\end{array}$.

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1)=J(2)$ — отрезок.

Свойства

• Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

• Теорема Ковальского о еже: Счётная степень ежа колючести $𝔪$ (при $𝔪\ge {\mathrm{\aleph }}_0$) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса $𝔪$. То есть любое метризуемое пространство веса $𝔪$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести $𝔪$.

• Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при $𝔪\ge {\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn, не сильно паракомпактен при $𝔪>{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.

• Ёж не является локально сепарабельным при $𝔪>{\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Sfn.

• $J(𝔪)$ вкладывается в $J(𝔫)$ при $𝔪\le 𝔫$.

• $J(𝔪)$ вкладывается в плоскость ${ℝ}^2$ только при $𝔪<{\mathrm{\aleph }}_0$ .

• Если $𝔪$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J(𝔪)$ равны ${\mathrm{\aleph }}_0$. Иначе (при $𝔪\ge {\mathrm{\aleph }}_0$) характер равен ${\mathrm{\aleph }}_0$, а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны $𝔪$Шаблон:Sfn.

• Квадрат триноги $J(3)$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство ${ℝ}^3$.

• На плоскости (${ℝ}^2$) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$ так, чтобы они попарно не пересекались.

• Образ ежа при открытом отображении — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$ и $J(2)$).

Литература

• Шаблон:Книга