Клеточность

Кле́точность (число Су́слина) — топологическая характеристика топологического пространства $X$, определяющаяся максимальным количеством открытых попарно непересекающихся множеств из $X$. Является кардинальным инвариантом и обозначается $c(X)$.

Как и для многих общетопологических инвариантов, конечная клеточность не представляет интереса; считается, что она не менее, чем счётна (то есть ${\mathrm{\aleph }}_0$).

Наследственность

Не является наследственным инвариантом, то есть подпространство $U\subseteq X$ может иметь клеточность большую, чем $c(X)$. Для примера достаточно точку $0$ в отрезке $[0,1]$ размножить несчётное число раз, тогда подпространство из размноженных нулей будет иметь бо́льшую клеточность, чем отрезок, то есть больше ${\mathrm{\aleph }}_0$, то есть ${\mathrm{\aleph }}_0=c(X)<hc(X)=𝔠$. Другой пример ненаследования клеточности — плоскость Немыцкого.

Связь с другими инвариантами

Клеточность пространства не превосходит его плотность (которая, в свою очередь, не превосходит веса): $c(X)⩽d(X)⩽w(X)$. Также клеточность не превосходит спреда (который также не превосходит веса): $c(X)⩽hc(X)⩽w(X)$.

Для линейно упорядоченных пространств их характер не превосходит клеточности: $\chi (X)⩽c(X)$. Кроме того, для линейно упорядоченных пространств клеточность совпадает со спредом и наследственным числом Линделёфа: $c(X)=hc(X)=hl(X)$.

Не превосходят клеточность топологического пространства $X$ его число Линделёфа и экстент (в свою очередь, не превосходящий число Линделёфа): $e(X)⩽l(X)⩽c(X)$.

Примеры

Для вещественной прямой $ℝ$: $c(ℝ)={\mathrm{\aleph }}_0$. Для натуральных и целых чисел: $c(\mathbb{Z})=c(\mathbb{N})={\mathrm{\aleph }}_0$.

Для дискретного пространства мощности $\tau$: $c(D_{\tau })=\tau$.

Для ежа колючести $\tau$: $c(J(\tau ))=\tau$. (При $\tau ⩾{\mathrm{\aleph }}_0$ (достаточно взять по открытому множеству в каждой «иголке», не выходящему за «иголку»).

В целом для подпространства $U$ из евклидова пространства ${ℝ}^n$: $c(U)⩽{\mathrm{\aleph }}_0$.

Литература

• Шаблон:Книга