Гиперболическое множество

В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм $f$ многообразия $M$ гиперболичен на инвариантном множестве $\mathrm{\Lambda }$, если касательное расслоение над $\mathrm{\Lambda }$ допускает непрерывное разложение в прямую сумму,

$T_{\mathrm{\Lambda }}M=E^u\oplus E^s,$

причём подрасслоения $E^u$ и $E^s$ инвариантны относительно динамики, и вектора $E^u$ растягиваются, а вектора $E^s$ сжимаются под действием динамики:

$\Vert f^n(v)\Vert \le c_1{\lambda }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^s,$

$\Vert f^n(v)\Vert \ge c_2{\mu }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u,$

где $c_1,c_2>0$ и $\mu >1>\lambda >0$ — константы.

Также в этом случае говорят, что $\mathrm{\Lambda }$ — гиперболическое инвариантное множество отображения $f$.

Линейные системы

Линейная система ОДУ называется гиперболической, если все её собственные значения (вообще говоря, комплексные) имеют отличные от нуля вещественные части.

См. также

• Гиперболическая неподвижная точка
• Диффеоморфизм Аносова
• Подкова Смейла

Литература

• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат-2005