Гиперболическая неподвижная точка

Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы ${\mu }_i$ (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля ${\lambda }_i$ имеют ненулевые вещественные части.

Простейший пример гиперболической особой точки векторного поля — седло.

Устойчивое и неустойчивое многообразия

В гиперболической точке векторного поля (или диффеоморфизма) касательное пространство раскладывается в прямую сумму двух инвариантных подпространств $T^u$ и $T^s$, инвариантных относительно оператора линейной части поля: ${ℝ}^n=T^s\oplus T^u$. Подпространства $T^u$ и $T^s$ определяются соответственно условиями $\mathrm{Re}{\lambda }_i>0$, $\mathrm{Re}{\lambda }_i<0$ в случае векторных полей и условиями $|{\mu }_i|>1$, $|{\mu }_i|<1$ в случае диффеоморфизмов. Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованного векторного поля (диффеоморфизма) в данной точке, они называются его неустойчивым и устойчивым, соответственно.

Неустойчивым и устойчивым многообразиями исходного нелинейного векторного поля (диффеоморфизма) называются его инвариантные многообразия $W^u$ и $W^s$, касающиеся соответственно подпространств $T^u$ и $T^s$ в рассматриваемой точке и имеющие те же размерности, что $T^u$ и $T^s$. Многообразия $W^u$ и $W^s$ определяются единственным образом. Отметим, что многообразия $W^u$ и $W^s$ существуют не только в случае гиперболических особых точек, однако в случае гиперболической точки сумма их размерностей равна размерности всего пространства, и других инвариантных многообразий, проходящих через данную особую точку, не существует.

Теоремы о гиперболических точках

Теорема Гробмана — Хартмана. В окрестности гиперболической точки нелинейного диффеоморфизма (векторного поля) динамика отличается от таковой для соответствующего линейного отображения (векторного поля) непрерывной заменой координат.

Теорема Адамара — Перрона. В окрестности гиперболической точки гладкого (или аналитического) векторного поля или диффеоморфизма существуют неустойчивое и устойчивое многообразия $W^u$ и $W^s$ такого же класса гладкости (соответственно, аналитические), проходящие через данную точку.

Теорема Ченя. Если в окрестности гиперболической точки два $C^{\mathrm{\infty }}$-гладких векторных поля (диффеоморфизма) формально эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга посредством формальной замены переменных, заданной формальными степенными рядами), то они $C^{\mathrm{\infty }}$-гладко эквивалентны.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова
• Гиперболическое множество
• Центральное многообразие

Литература

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории, — М.: Физматлит, 1995 (c. 137).
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
• Шаблон:Книга:Нелокальные бифуркации
• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат-2005