Гипергеометрическое распределение

Шаблон:Вероятностное распределение

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пример

	вытянутые	не вытянутые	всего
с дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всего	n	N − n	N

Типичный пример представлен вышестоящей таблицей: осуществлена поставка из N объектов, из которых D имеют дефект. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из n различных объектов, вытянутых из поставки, ровно k объектов являются бракованными.

В общем, если случайная величина X соответствует гипергеометрическому распределению с параметрами N, D и n, то вероятность получения ровно k успехов определяется формулой:

f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

Эта вероятность положительна когда k лежит в промежутке между max{ 0, D + n − N } и min{ n, D }.

Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует $(\binom{N}{n})$ возможных выборок(без возвращения). Есть $(\binom{D}{k})$ способов выбрать k бракованных объектов и $(\binom{N - D}{n - k})$ способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.

В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки (т.е., N намного больше чем n), гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением с параметрами n (количество испытаний) и p = D / N (вероятность успеха в одном испытании).

Определение

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из $N$ элементов. Предположим, что $D$ (defective) из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся $N - D$ этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из $n$ элементов. Пусть $Y$ - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности $Y$ имеет вид:

p_{Y} (k) \equiv ℙ (Y = k) = \frac{C_{D}^{k} C_{N - D}^{n - k}}{C_{N}^{n}}

,

где $C_{n}^{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}$ обозначает биномиальный коэффициент. Пишем: $Y \sim H G (D, N, n)$ .

Моменты

𝔼 [Y] = \frac{n D}{N}

,

D [Y] = \frac{n (D / N) (1 - D / N) (N - n)}{(N - 1)}

.

Пример применения

Классическим применением гипергеометрического распределения является выборка без возвращения. Рассмотрим урну с двумя типами шаров: черными и белыми. Определим вытягивание белого шара как успех, а черного как неудачу. Если N является числом всех шаров в урне и D является числом белых шаров, то N − D является числом черных шаров.
Теперь предположим, что в урне находятся 5 белых и 45 черных шаров. Стоя рядом с урной, вы закрываете глаза и вытаскиваете 10 шаров (n). Какова вероятность p (k=4) вытянуть 4 белых шара (и, соответственно, 6 черных шаров) ?

Задача описывается следующей таблицей:

	вытянутые	не вытянутые	всего
белые шары	4 (k)	1 = 5 − 4 (D − k)	5 (D)
чёрные шары	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всего	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Вероятность Pr (k = x) того, что будут вытянуты ровно x белых шаров (= количество успехов), может быть посчитана с помощью формулы:

\Pr (k = x) = f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})} .

Отсюда, в нашем примере (x = 4), получим:

\Pr (k = 4) = f (4; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{4}) (\binom{45}{6})}{(\binom{50}{10})} = 0.003964583 \dots .

Таким образом, вероятность вытянуть ровно 4 белых шара достаточно мала (примерно 0.004). Это значит, что при проведении эксперимента (вытаскивание 10 шаров из урны с 50 шарами без возвращения) 1000 раз мы рассчитываем получить вышеупомянутый результат 4 раза.

Что касается вероятности вытянуть все 5 белых шаров, то интуитивно понятно, что она будет меньше, чем вероятность вытянуть 4 белых шара. Давайте посчитаем эту вероятность.

	вытянутые	не вытянутые	всего
белые шары	5 (k)	0 = 5 − 5 (D − k)	5 (D)
чёрные шары	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всего	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Таким образом, мы получаем вероятность:

\Pr (k = 5) = f (5; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{5}) (\binom{45}{5})}{(\binom{50}{10})} = 0.0001189375 \dots,

Как и ожидалось, вероятность вытянуть 5 белых шаров меньше, чем вероятность вытянуть 4 белых шара.

Заключение:
Начальный вопрос можно расширить следующим образом: Если вытягиваются 10 шаров из урны (содержащей 5 белых и 45 чёрных шаров), какова вероятность вытянуть не менее 4 белых шаров? Для получения ответа на этот вопрос необходимо посчитать функцию распределения p(k>=4). Так как гипергеометрическое распределение является дискретным вероятностным распределением, функция распределения может быть легко посчитана как сумма соответствующих вероятностей.

В нашем примере достаточно сложить Pr (k = 4) и Pr (k = 5):

Pr (k ≥ 4) = 0.003964583 + 0.0001189375 = 0.004083520

Симметричность

f (k; N, D, n) = \frac{(\binom{D}{k}) (\binom{N - D}{n - k})}{(\binom{N}{n})} = f (n - k; N, N - D, n)

Эта симметричность интуитивно понятна, если перекрасить белые шары в черные и наоборот, таким образом, белые и черные шары просто меняются ролями.

f (k; N, D, n) = f (k; N, n, D)

Эта симметричность интуитивно понятна, если вместо вытягивания шаров, вы помечаете шары, которые вы бы вытянули. Оба выражения дают вероятность того, что ровно k шаров черные и помечены как вытянутые.

Связь с другими распределениями

Зафиксируем $n$ и $D$ и устремим $N$ к бесконечности. Тогда $H G (D, N, n)$ сходится к биномиальному распределению $B i (n, D / N)$ .
Если случайные величины $X$ и $Y$ имеют биномиальные распределения $B i (D, p)$ и $B i (N - D, p)$ соответственно, то условное распределение случайной величины $X$ при условии $X + Y = n$ – гипергеометрическое $H G (D, N, n)$ .

Шаблон:Список вероятностных распределений

Шаблон:Rq

Гипергеометрическое распределение

Содержание

Пример

Определение

Моменты

Пример применения

Симметричность

Связь с другими распределениями

Навигация

Гипергеометрическое распределение

Пример

Определение

Моменты

Пример применения

Симметричность

Связь с другими распределениями

Навигация

Поиск