Условное распределение

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$.

Дискретные случайные величины

Пусть $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ и $Y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ — случайные величины, такие, что случайный вектор $(X,Y{)}^{\mathrm{\top }}:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{m+n}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности $p_{X,Y}(x,y),x\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^n$. Пусть $y_0\in {ℝ}^n$ такой, что $\mathbb{P}(Y=y_0)>0$. Тогда функция

$p_{X\mid Y}(x\mid y_0)=\mathbb{P}(X=x\mid Y=y_0)=\frac{p_{X,Y}(x,y_0)}{p_Y(y_0)},x\in {ℝ}^m$,

где $p_Y$ — функция вероятности случайной величины $Y$, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y=y_0$. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ и $Y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ — случайные величины, такие что случайный вектор $(X,Y{)}^{\mathrm{\top }}:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{m+n}$ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности $f_{X,Y}(x,y),x\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^n$. Пусть $y_0\in {ℝ}^n$ таково, что $f_Y(y_0)>0$, где $f_Y$ — плотность случайной величины $Y$. Тогда функция

$f_{X\mid Y}(x\mid y_0)=\frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y=y_0$. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

• Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

• $p_{X\mid Y}(x\mid y_0)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^m,y_0\in {ℝ}^n$,
• $\sum _x{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)=1,\mathrm{\forall }{y}_0\in {ℝ}^n$,

и

• $f_{X\mid Y}(x\mid y_0)\ge 0$ почти всюду на ${ℝ}^{m+n}$,
• $\underset{{ℝ}^m}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx=1,\mathrm{\forall }{y}_0\in {ℝ}^n$,

• Справедливы формулы полной вероятности:

• $p_X(x)=\sum _y{p}_{X\mid Y}(x\mid y)p_Y(y)$,
• $f_X(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)dy$.

• Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то условное распределение равно безусловному:

$p_{X\mid Y}(x\mid y_0)=p_X(x),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^m$

или

$f_{X\mid Y}(x\mid y_0)=f_X(x)$ почти всюду на ${ℝ}^m$.

Условные вероятности

Дискретные случайные величины

Если $A$ — счётное подмножество ${ℝ}^m$, то

$\mathbb{P}(X\in A\mid Y=y_0)=\sum _{x\in A}{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если $A\in ℬ({ℝ}^m)$ — борелевское подмножество ${ℝ}^m$, то полагаем по определению

$\mathbb{P}(X\in A\mid Y=y_0)=\underset{A}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx$.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как $\mathbb{P}(Y=y_0)=0$.

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y=y_0$ получается суммированием относительно условного распределения:

$𝔼[X\mid Y=y_0]=\sum _{x}x{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)$.

• Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ — это третья случайная величина $𝔼[X\mid Y]$, задаваемая равенством

$𝔼[X\mid Y](\omega )=𝔼[X\mid Y=Y(\omega )],\omega \in \mathrm{\Omega }$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y=y_0$ получается интегрированием относительно условного распределения:

$𝔼[X\mid Y=y_0]=\underset{{ℝ}^m}{\int }x{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx$.

• Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ — это третья случайная величина $𝔼[X\mid Y]$, задаваемая равенством

$𝔼[X\mid Y](\omega )=𝔼[X\mid Y=Y(\omega )],\omega \in \mathrm{\Omega }$.

См. также

• Условное матожидание