Гиперфункция (математика)

Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функцийШаблон:Sfn. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году.

Гиперфункция одной переменной

Гиперфункция одной переменной может рассматриваться как разность на вещественной оси между одной голоморфной функцией $f$, определённой на верхней комплексной полуплоскости, и другой $g$, определённой на нижней комплексной полуплоскости - $(f,g)$Шаблон:Sfn. Гиперфункция одной переменной определяется лишь разностью двух функций $f-g$ на вещественной оси и не изменяется при добавлении к $f$ и $g$ одной и той же голоморфной на всей комплексной плоскости функции $h$, так что гиперфункции $(f,g)$ и $(f+h,g+h)$определяются как эквивалентные.

Гиперфункция многих переменных

Пусть $B^{\prime }$ - предпучок в $R^n$, определённый следующим образомШаблон:Sfn: если $\mathrm{\Omega }$ не ограничено, то $B^{\prime }(\mathrm{\Omega })=\left\{0\right\}$; если $\mathrm{\Omega }$ ограничено, то $B^{\prime }(\mathrm{\Omega })=B(\mathrm{\Omega })$; Ограничения $B^{\prime }(\mathrm{\Omega })\to B^{\prime }(\omega )$ определены так: $0\to 0$, если $\mathrm{\Omega }$ не ограничено, $T\to T|\omega$, если $\mathrm{\Omega }$ ограничено. Пучком гиперфункций на $R^n$ называется пучок $B$, ассоциированный с передпучком $B^{\prime }$.

Гиперфункция на $\mathrm{\Omega }$ определяется: покрытием $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$, где ${\mathrm{\Omega }}_i$ открыты и ограничены; и элементами $T_i\in B({\mathrm{\Omega }}_i)$, для которых $T_i|{\mathrm{\Omega }}_i\cap {\mathrm{\Omega }}_j=T_j|{\mathrm{\Omega }}_i\cap {\mathrm{\Omega }}_j$.

Два таких набора $({\mathrm{\Omega }}_i,T_i),i\in I$ и $({\mathrm{\Omega }}_{i^{\prime }},T_{i^{\prime }}),i^{\prime }\in I^{\prime }$ определяют одну и ту же гиперфункцию, если $T_i|{\mathrm{\Omega }}_i\cap {\mathrm{\Omega }}_{i^{\prime }}=T_{i^{\prime }}|{\mathrm{\Omega }}_i\cap {\mathrm{\Omega }}_{i^{\prime }},\mathrm{\forall }i\in I,i^{\prime }\in I^{\prime }$

Примеры

• Для всякой голоморфной на всей комплексной плоскости функции f гиперфункцией является её значения на вещественной оси, представимые в виде $(f,0)$ или $(0,-f)$.
• Функция Хевисайда может быть представлена как гиперфункция:

$H(x)=(\frac{1}{2\pi i}\log (z),\frac{1}{2\pi i}\log (z)-1).$

• Дельта-функция Дирака может быть представлена как гиперфункция:

$(\frac{1}{2\pi iz},\frac{1}{2\pi iz}).$

Операции над гиперфункциями

• Умножение на аналитическую функцию. Пусть $f\in 𝔄(\mathrm{\Omega })$ - аналитическая функция, $u\in {𝔄}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ - аналитический функционал. Тогда произведение $fu\in {𝔄}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ определено формулой $⟨fu,g⟩=⟨u,fg⟩,\mathrm{\forall }g\in 𝔄(\mathrm{\Omega })$.

Гиперфункцию $fT$ определяет последовательность $f\overline{T_n}|{\mathrm{\Omega }}_n$Шаблон:Sfn

• Свертка. Пусть $u\in H^{\prime }(C^n)$ - голоморфный функционал , $f\in H(C^n)$ - голоморфная функция с топологией. Тогда свёртка $u*f\in H(C^n)$ определяется формулой $(u*f)(z)=⟨u_{\xi },f(z-\xi )⟩$. Гиперфункцию $u*T$ определяет последовательность $(u*T_n)|{\mathrm{\Omega }}_{n-p}$Шаблон:Sfn

См. также

• Обобщенная функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга