Гиперэкспоненциальное распределение

В теории вероятностей, гиперэкспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, при котором плотность вероятности случайной величины $X$ выражается как

$f_X(x)=\sum _{i=1}^n{f}_{Y_i}(y)p_i,$

где $Y_i$ — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром $\lambda {}_i$, и $p_i$ — вероятность того, что X будет иметь экспоненциальное распределение с параметром $\lambda {}_i$. Оно названо гиперэкспоненциальным распределением, так как его коэффициент вариации больше коэффициента вариации экспоненциального распределения (1) и гипоэкспоненциального распределения, у которого коэффициент вариации меньше коэффициента вариации экспоненциального распределения. Хотя экспоненциальное распределение — непрерывный аналог геометрического распределения, гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения. Гиперэкспоненциальное распределение — пример распределения со смешанной плотностью.

Пример случайной величины, распределённой по гиперэкспоненциальному закону, можно найти в телефонии: при наличии модема и телефона использование телефонной линии может моделироваться гиперэкспоненциальным распределением с заданной вероятностью разговора по телефону p с битрейтом $\lambda {}_1$ и вероятностью соединения по модему q с битрейтом $\lambda {}_2.$

Свойства гиперэкспоненциального распределения

Поскольку математическое ожидание суммы есть сумма математических ожиданий, математическое ожидание гиперэкспоненциально распределённой случайной величины

$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx=p_1\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda {}_1{e}^{-\lambda {}_{1}x}dx+p_2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda {}_2{e}^{-\lambda {}_{2}x}dx+\cdots +p_n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda {}_n{e}^{-\lambda {}_{n}x}dx$

$=\sum _{i=1}^n\frac{p_i}{\lambda {}_i}$

и

$E(X^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)dx=p_1\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda {}_1{e}^{-\lambda {}_{1}x}dx+p_2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda {}_2{e}^{-\lambda {}_{2}x}dx+\cdots +p_n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda {}_n{e}^{-\lambda {}_{n}x}dx,$

$=\sum _{i=1}^n\frac{2}{\lambda {}_i^2}{p}_i,$

Производящая функция моментов

$E(e^{tx})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)dx=p_1\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}\lambda {}_1{e}^{-\lambda {}_{1}x}dx+p_2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}\lambda {}_2{e}^{-\lambda {}_{2}x}dx+\cdots +p_n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}\lambda {}_n{e}^{-\lambda {}_{n}x}dx$

$=\sum _{i=1}^n\frac{\lambda {}_i}{{\lambda }_i-t}{p}_i.$

Шаблон:Rq Шаблон:Список вероятностных распределений