Гипотеза Бейтмана — Хорна

Гипо́теза Бе́йтмана — Хо́рна — теоретико-числовая гипотеза относительно частоты простых чисел среди значений системы многочленов. Сформулирована Шаблон:Нп5 и Шаблон:Нп5 в 1962 году. Является обобщением гипотезы Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов и гипотезы о простых числах вида Шаблон:Math, а также усилением гипотезы H.

Определение

Гипотеза Бейтмана — Хорна предсказывает асимптотический эквивалент количества положительных целых чисел, на которых все многочлены из заданного множества принимают простые значения. Множество из Шаблон:Math различных неприводимых многочленов Шаблон:Math с целыми коэффициентами таково, что произведение Шаблон:Math всех многочленов Шаблон:Math удовлетворяет свойству Буняковского: не существует простого числа Шаблон:Math, которое является делителем произведения Шаблон:Math для каждого положительного целого числа Шаблон:Math. Это вытекает из того, что если бы такое простое число Шаблон:Math существовало и при этом для данного Шаблон:Math все значения многочленов Шаблон:Math одновременно были простыми, то по крайней мере одно из них должно быть равно Шаблон:Math, а это может выполняться только для конечного количества значений Шаблон:Math, иначе в множестве содержался бы многочлен с бесконечным числом корней.

Назовём целое число Шаблон:Math порождающим простые числа для данной системы многочленов, если все многочлены Шаблон:Math принимают значения, являющиеся простыми числами. Пусть Шаблон:Math — количество чисел, порождающих простые числа, среди положительных целых чисел, меньших Шаблон:Math. Гипотеза Бейтмана — Хорна утверждает, что

$P(x)\sim \frac{C}{D}\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\log t{)}^m},$

где Шаблон:Math — произведение степеней многочленов, а Шаблон:Math — произведение по всем простым числам Шаблон:Math (Шаблон:Iw):

$C=\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1-N(p)/p}{(1-1/p{)}^m},$

где $N(p)$ — количество решений для

$f(n)\equiv 0(\mathrm{mod}p).$

Свойство Буняковского подразумевает $N(p)<p$ для всех простых чисел Шаблон:Math, поэтому каждый множитель в бесконечном произведении Шаблон:Math положителен. Тогда интуитивно можно ожидать, что произведение Шаблон:Math также положительно, и это можно доказать (доказательство необходимо, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю).

Отрицательные числа

Для отрицательных чисел вышеприведённое утверждение не выполняется: так, если выбрать множество из одного многочлена Шаблон:Math, то его значения будут отрицательны для положительного аргумента, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два равнозначных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности:

• Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные коэффициенты при старшей степени, так что только постоянное количество их значений может быть отрицательным.
• В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные коэффициенты при старшей степени, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым.

Разумно позволить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулировке более общих предположений, применимых к системам чисел, отличающимся от целых, но в то же время можно просто умножить соответствующие многочлены на −1, если необходимо свести рассмотрение к случаю положительных старших коэффициентов.

Примеры

Если система многочленов состоит из одного многочлена Шаблон:Math, тогда значения Шаблон:Math, для которых Шаблон:Math являются простыми числами, сами по себе являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о распределении простых чисел.

Если система многочленов состоит из двух многочленов Шаблон:Math и Шаблон:Math, то значения Шаблон:Math, для которых оба Шаблон:Math и Шаблон:Math — простые, являются просто меньшими из двух простых чисел в каждой паре чисел-близнецов. В этом случае гипотеза Бейтмана — Хорна сводится к первой гипотезе Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой количество пар простых чисел-близнецов меньше Шаблон:Math равно

${\pi }_2(x)\sim 2\prod _{p\ge 3}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\frac{x}{(\log x{)}^2}\approx 1,32\frac{x}{(\log x{)}^2}.$

Аналог для многочленов над конечным полем

Если целые числа заменить на кольцо многочленов Шаблон:Math над конечным полем Шаблон:Math, можно задаться вопросом, как часто конечное множество многочленов Шаблон:Math в Шаблон:Math одновременно принимает неприводимые значения в Шаблон:Math, когда мы заменяем Шаблон:Math элементами Шаблон:Math. Хорошо известные аналогии между целыми числами и Шаблон:Math предполагают аналог гипотезы Бейтмана — Хорна для Шаблон:Math, но этот аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен $x^3+u$ в Шаблон:Math принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда Шаблон:Math пробегает многочлены в Шаблон:Math нечётной степени, но оказывается, что он принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидается, когда Шаблон:Math пробегает многочлены степени, равной 2 по модулю 4; при этом он (вероятно) вообще не принимает неприводимых значений, когда Шаблон:Math пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4.

Аналог гипотезы Бейтмана — Хорна для Шаблон:Math, который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, зависящий от значения Шаблон:Math по модулю 4, где Шаблон:Math — это степень многочленов в Шаблон:Math, по которым производится выборка Шаблон:Math.

Ссылки

• Шаблон:Статья Шаблон:Free access
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:E-print