Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если $f(x)$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен $f(x)/d$ принимает бесконечно много простых значений.

Если $f(x)=kx+b$ — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен $\text{НОД}(k,b)$. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция $f_1(x)=\frac{kx+b}{d}$ принимает бесконечное множество простых значений (видно, что $f_1(x)$ целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при $f(x)=x^2+1.$

В статье Bateman, Horn приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена $f(x)$, удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

${\pi }_f(N)\sim \frac{C(f)}{\mathrm{deg}f}\underset{2}{\overset{N}{\int }}\frac{dt}{\ln t},$

где ${\pi }_f(N)$ — количество целых $n\le N$ таких что $f(n)$ простое число, и константа $C(f)=\prod _p\frac{1-\frac{\omega (p)}{p}}{1-\frac{1}{p}}$, где $p$ пробегает простые числа и $\omega (p)$ — число решений сравнения $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ в поле $\mathbb{Z}/(p).$

Пример

Покажем, например, как можно оценить $C(f)$ при $f(x)=x^2+1$. Тогда $\omega (2)=1$, при $p\equiv -1(\mathrm{mod}4)$ будет $\omega (p)=0$, а при $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ будет $\omega (p)=2$. Остается только численно вычислить произведение.

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
• Открытые проблемы в теории чисел
• Гипотеза H

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• S. Lang. Bunyakovskii conjecture (Шаблон:Wayback), Encyclopedia of Mathematics, Шаблон:ISBN.
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Статья