Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Синий график $\prod _{p\le X}\frac{N_p}{p}$ для уравнения $y^2=x^3-5x$, где $N_p$ — количество точек на кривой по модулю $p$.
$X$ находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — $\log (\log (X))$; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае $y^2=x^3-5x$ ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числахШаблон:Sfn, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг $r$ эллиптической кривой $E$ над полем $K$ равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля $L(E,s)$ в точке $s=1$. Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел $B_E=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{s\to 1}\frac{L(E,s)}{(s-1{)}^r}$, где значение $B_E$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположеноШаблон:Sfn , что верна асимптотика

$\prod _{p\le x}\frac{N_p}{p}\approx C\log (x{)}^r\text{ при }x\to \mathrm{\infty }$

где $N_p$ — число целых точек на кривой $E$ с рангом $r$ по модулю $p$, $C$ — константа.

При условии, если один из рядов имеет решение.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления Шаблон:Iw.

Наиболее важные результаты

В 1977 году Джон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая $E$ содержит бесконечно много рациональных точек, то $L(E,1)=0$.

В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при $s=1$, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);

В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая $E$, для которой $L(E,1)$ не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая $E$, для которой $L(E,1)$ имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 году Карл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем $K$ с комплексным умножением на $K$, если $L$-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел $p>7$.

В 1999 году Кристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что $L$-функции всех эллиптических кривых над $Q$ определены при s = 1.

В 2015 году Арул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг Шаблон:Нп5 для эллиптической кривой над $Q$ ограничен сверху величиной 7/6.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite journal