Дзета-функция Хассе — Вейля

Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функция

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию $V$, определённому над полем алгебраических чисел $K$, является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой — L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое — из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда $V$ — это единственная точка, а дзета-функция Римана.

Взяв случай $K=\mathbb{Q}$ и $V$ — неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел $p$ рассмотреть редукцию $V$ по модулю $p$, то есть алгебраическое многообразие $V_p$ над конечным полем ${𝔽}_p$. Для почти всех $p$ $V_p$ будет неособым. Мы определяем $Z_{V/\mathbb{Q}}(s)$как ряд Дирихле комплексной переменной $s$, который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций ${\zeta }_{V,p}(p^{-s})$. Тогда $Z(s)$, согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида $p^{-s}$.

Так как эта неопределённость относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства $Z(s)$ существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для $Z(s)$, определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах $p$, для которых представление Галуа $\rho$ на этальной когомологии группы $V$ является неразветвлённым. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена $\rho (\mathrm{Frob}(p)),$ где $\mathrm{Frob}(p)$ — эндоморфизм Фробениуса для $p$. Что происходит при разветвленном $p$, так это то, что $\rho$ нетривиально в группе инерции $I(p)$. Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления $\rho$, на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение $Z(s)$ может быть успешно модернизировано с почти всех $p$ до всех $p$, участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чисел

Пусть $E$ — эллиптическая кривая над $\mathbb{Q}$ c кондуктором $N$, а $p$ — произвольное простое число. Тогда $E$ имеет хорошую редукцию при всех $p$, не делящих $N$, имеет мультипликативную редукцию в случае, если $p$ делит $N$, но $p^2$ не делит $N$, и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (то есть если $p^2$ делит $N$). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от $E$ принимает вид

$Z_{E/\mathbb{Q}}(s)=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}.$

Здесь $\zeta (s)$ — обычная дзета-функция Римана, а $L(s,E)$ называется L — функцией $E/\mathbb{Q}$, которая имеет вид

$L(s,E)=\prod _p{L}_p(s,E{)}^{-1}$

где для данного $p$,

$L_p(s,E)=\{\begin{array}{cc}(1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}),& \text{ если }p\nmid N\\ (1-a_p{p}^{-s}),& \text{ если }p\mid N\text{ и }{p}^2\nmid N\\ 1,& \text{ если }{p}^2\mid N\end{array}$

где, в случае хорошего редукции $a_p=p+1-\text{число точек в }Emodp$, а в случае мультипликативной редукции $a_p=\pm 1$ в зависимости от того, разделен ли $E$ или нерасщепленной мультипликативной редукцией в $p$.

Гипотеза Хассе-Вейля

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

См. также

• Арифметическая дзета-функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга