Локальная дзета-функция

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

$Z(V,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right)$,

построенный на последовательности числа точек $N_k$ аффинного или проективного многообразия $V$ в конечных полях.

Локальная дзета-функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$. Для неё существует аналог гипотезы Римана.

Определение

Пусть $V$ — аффинное или проективное многообразие над конечным полем ${𝔽}_q$. Конгруэнц-дзета-функция многообразия $V$ над ${𝔽}_q$ определяется как формальный степенной ряд

$Z(V/{𝔽}_q,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right)$,

где $\exp (u)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^k}{k!}$, а $N_k$ — число точек $V$, лежащих в ${𝔽}_{q^k}$. Числа $N_k$ конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$, здесь $p$ — характеристика поля ${𝔽}_q$, $s\in ℂ$ — комплексная переменная.

Примеры

Возьмем уравнение $x=0$, геометрически это означает, что $V$ — это просто точка. В этом случае все $N_k=1$. Тогда

$Z(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{T^k}{k}\right)=\exp (-\ln (1-T))=\frac{1}{1-T}$

Пусть $V$ — проективная прямая $0x=0$ над $F$. Если $F={𝔽}_{q^k}$, то $V$ имеет $N_k=q^k+1$ точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

$Z(V,T)=\exp (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(qT{)}^k}{k}+\frac{T^k}{k})=\exp (-\ln (1-qT)-\ln (1-T))=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$

Свойства

• $Z(X,T)$ представляется в виде бесконечного произведения

$Z(X,T)=\prod _x(1-T^{\mathrm{deg}(x)}{)}^{-1},$

где $x$ пробегает все замкнутые точки $X$, а $\mathrm{deg}x$ — степень $x$. В случае, если $X=V$, которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности $x=[P]$ точек $P\in \bar{V}$, где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем $F$. Степень $x$ — это степень расширения поля $F$, порождённого координатами $P$. Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения $Z(X,T)$ будет равна производящей функции

$N_1+N_2{t}^1+N_3{t}^2+\cdots$.

• Если $E$ — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна

$Z(E/{𝔽}_q,T)=\frac{1-2a_{E}T+q{T}^2}{(1-T)(1-qT)}$

• Если $(\mathrm{\forall }k)N_k<C{A}^k$, то $Z(T)$ сходится в открытом круге радиуса $R=A^{-1}$.

• Если $N_k=N_k^{(1)}+N_k^{(2)}$, причем $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ — соответствующие дзета-функции, то $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$.

• Если $N_k={\beta }_1^k+...+{\beta }_t^k-{\alpha }_1^k-...-{\alpha }_s^k$, то $Z(T)=\frac{(1-{\alpha }_{1}T)...(1-{\alpha }_{s}T)}{(1-{\beta }_{1}T)...(1-{\beta }_{t}T)}$.

Применение

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

$L(V,s)=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod _{p}Z(V/{𝔽}_p,p^{-s})}$

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями

Если $C$ — проективная неособая кривая над $F$, то можно показать, что

$Z(C,T)=\frac{P(t)}{(1-T)(1-qT)},$

где $P(t)$ — многочлен степени $2g$, где $g$ — род кривой $C$. Представим

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-{\omega }_{i}t),$

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

$|{\omega }_i|=q^{1/2}$

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней $\zeta (X,s)$ равна $1/2$.

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны $\sqrt{q}$. Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функции

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

$Z(X,T)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det (1-T{\mathrm{Frob}}_q|H_c^i(\bar{X},{\mathbb{Q}}_{\ell }){)}^{(-1{)}^{i+1}}.$

Здесь $X$ — отделимая схема конечного типа над конечным полем ${𝔽}_q$, and ${\mathrm{Frob}}_q$ — геометрическое действие Фробениуса на $\ell$-адической этальной когомологии с компактным носителем $\bar{X}$. Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией $T$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Дзета-функции
• Гипотезы Вейля
• Эллиптическая кривая
• Этальные когомологии