Гипотеза Зарембы

Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа $\mathrm{\Lambda }$ со следующим свойством: для любого $q⩾2$ существует $a<q$ такое, что $(a,q)=1$ и для разложения:

$\frac{a}{q}=[a_1,a_2,\dots ,a_n]=\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\dots +\frac{1}{a_s}}}}$

выполняются неравенства:

$a_i⩽\mathrm{\Lambda },i=1,\dots ,s$.

В наиболее сильной формулировке фигурирует значение $\mathrm{\Lambda }=5$ для произвольного $q$ и значение $\mathrm{\Lambda }=3$ для достаточно больших $q$..

Гипотезу выдвинул Станислав Заремба-младший в 1972 году. Главный прорыв в её исследовании связан с работой Бургейна и Шаблон:Нп2 2014 года, в которой слабый вариант гипотезы доказан для почти всех чисел. Впоследствии их результаты многократно улучшались.

Мотивация

Исторически гипотеза возникла в связи с поиском оптимального способа численного интегрирования в духе метода Монте-Карло. Через ограничение на неполные частные Заремба оценивал характеристику решётки, описывающую минимальную удалённость её точек от центра координат. Ряд советских математиков также задумывались об этой гипотезе в связи с численным интегрированием, но в печатном виде её нигде не заявляли.

Сама постановка задачи связана с диофантовыми приближениями. Для приближения произвольного вещественного числа $\alpha$ дробью $\frac{p}{q}$ каноническим мерилом качества считается число $c$, для которого $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|=\frac{1}{c{q}^2}$ (чем больше $c$, тем лучше приближение). Известно, что рациональные $\alpha$ лучше всего приближаются своими подходящими дробями $\frac{p_n}{q_n}$, для которых известна оценка $\left|\alpha -\frac{p_n}{q_n}\right|⩽\frac{1}{q_n{q}_{n+1}}$. Поскольку $q_{n+1}<(a_n+1)q_n$, то при наличии безусловной оценки $a_n⩽\mathrm{\Lambda }$ предыдущая оценка не может быть лучше, чем $\left|\alpha -\frac{p_n}{q_n}\right|⩽\frac{1}{(\mathrm{\Lambda }+1)q_n^2}$. Легко получить и аналогичную (с точностью до константы) оценку снизу, поэтому гипотеза Зарембы — это в точности утверждение о существовании несократимых плохо приближаемых дробей с любым знаменателем.

Обобщения

«Алфавиты» значений неполных частных

Часто рассматривается более общий вопрос: как зависят свойства ${𝒟}_{𝒜}$ (множества знаменателей $q$, для которых существуют несократимые дроби $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ с условием $a_i\in 𝒜$ для всех $i=1,\dots ,s$) от алфавита (конечного множества натуральных чисел)? В частности, для каких $𝒜$ множество ${𝒟}_{𝒜}$ содержит почти все или все достаточно большие $q$?

Гипотеза Хенсли

Хенсли в 1996 году рассмотрел связь ограничений на неполные частные с хаусдорфовой размерностью соответствующих дробей, и выдвинул гипотезу, которая впоследствии была опровергнута:

Множество ${𝒟}_{𝒜}$ содержит все достаточно большие числа тогда и только тогда, когда ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})>\frac{1}{2}$ (${ℭ}_{𝒜}$ — множество дробей из интервала $(0;1)$, все неполные частные которых лежат в алфавите $𝒜$, ${\dim }_H$ — хаусдорфова размерность.

Контпример построен для алфавита $𝒜=\{2,4,6,8,10\}$: известно, что ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})\approx 0,517$, но в то же время $4k+3\in ̸{𝒟}_{𝒜}$.

Бургейн и Конторович предложили более слабую форму этой гипотезы, связанную со знаменателями $d$, на которые наложены дополнительные ограничения. При этом они доказали её плотностную версию для более сильного ограничения, чем $\frac{1}{2}$.

Вычисление хаусдорфовой размерности

Вопрос вычисления хаусдорфовой размерности для алфавитов вида $𝒜=\{1,\dots ,N\}$ рассматривался в теории диофантовых приближений задолго до гипотезы Зарембы и, видимо, берёт начало с работы 1928 года. В статье, где была предложена гипотеза, Хенсли описал общий алгоритм с полиномиальным временем работы, основанный на следующем результате: для заданного алфавита $𝒜$ значение ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})$ можно вычислить с точностью $2^{-N}$ всего за $O(N^7)$ операций.

Существует гипотеза, что множество значений таких размерностей $\{{\dim }_H({ℭ}_{𝒜}):|𝒜|⩽\mathrm{\infty }\}$ всюду плотно. Из компьютерных вычислений известно, что расстояние между его соседними элементами по крайней мере не меньше $\frac{1}{50}$.

Для алфавитов из подряд идущих чисел Хенсли получил оценку:

${\dim }_H({ℭ}_{\{1,\dots ,N\}})=1-\frac{6}{{\pi }^{2}N}-\frac{72\log N}{{\pi }^4{N}^2}+O\left(\frac{1}{N^2}\right)$.

В частности, установлено, что:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}{\dim }_H({ℭ}_{\{1,\dots ,N\}})=1$.

Этот факт существенно использовался в доказательстве центрального результата Бургейна и Конторовича.

Продвижения

Слабые точные результаты

Нидеррейтер доказал гипотезу для степеней двойки и степеней тройки при $\mathrm{\Lambda }=3$ и для степеней пятёрки при $\mathrm{\Lambda }=4$Шаблон:Sfn.

Рукавишникова, развивая простой результат Коробова, показала существование для любого $q$ дроби $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ с условием $a_i<\phi (q)\log q,i=1,\dots ,s$, где $\phi (q)$ — функция Эйлера.

Плотностные результаты

Наиболее сильным и общим является результат Бургейна и Конторовича:

$|{𝒟}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=N-o(N)$,

то есть что гипотеза Зарембы с параметром $\mathrm{\Lambda }=50$ верна для почти всех чисел. Их результат касался не только этого алфавита, но и любого другого с условием $\dim ({ℭ}_{𝒜})>0,98397$. Впоследствии их результат был улучшен для $\mathrm{\Lambda }=5$ и остаточного члена $N^{-c}$, где $c>0$ — константаШаблон:Sfn.

Для более слабых ограничений тот же метод позволяет показать, что множество ${𝒟}_{𝒜}$ имеет положительную плотностью. В частности, из дальнейших улучшений известно, что это верно когда $\dim ({ℭ}_{𝒜})>0.25(\sqrt{17}-1)\approx 0.7807...$, в том числе для $𝒜=\{1,2,3,4\}$Шаблон:Sfn.

Оценки с хаусдорфовой размерностью

Хенсли показал, что если ${\dim }_H({ℭ}_{𝒜})=\delta$, то $|{𝒟}_{𝒜}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$. Позже Бургейн и Конторович улучшили это неравенство до показателя $\delta +\frac{(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }-o(1)$ вместо $\delta$. Для отдельных интервалов значений $\delta$ позже были получены более сильные оценки. В частности, известно, что $|{𝒟}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0.99}$ и что при $\delta \to \frac{\sqrt{40}-4}{3}\approx 0.7748...$ показатель степени стремится к единице.

Общее число дробей над тем или иным алфавитом со знаменателями, не превышающими $N$, с точностью до константы равно $N^{2\delta }$.

Модулярная версия

Хенсли обнаружил, что знаменатели дробей, удовлетворяющих гипотезе Зарембы, равномерно распределены (с учётом кратности) по любому модулю.Шаблон:Sfn Из этого, в частности, следует существование таких дробей со знаменателями, равными нулю (и любому другому знчению) по тому или иному модулю.

Следствие из результата Хенсли (1994): для любого $\mathrm{\Lambda }\ge 2$ существует функция $q=q_{\mathrm{\Lambda }}(n)\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ такая, что для любого $n$: существует несократимая дробь $\frac{a}{q}$, неполные частные которых ограничены $\mathrm{\Lambda }$.

При $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)=n$ это утверждение было бы эквивалентно гипотезе Зарембы. Позже для простых $n$ были получены оценки скорости роста $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)$ в экстремальных случаях:

• для некоторой константы $c$ верно, что $q_2(n)=O(n^c)$;

• для любого $\epsilon >0$ существует достаточно большое $\mathrm{\Lambda }$ такое, что $q_{\mathrm{\Lambda }}(n)=O(n^{1+\epsilon })$.

Методы исследования

Современные методы, восходящие к статье Бургейна и Конторовича, рассматривают гипотезу Зарембы на языке матриц размера 2x2 и изучают соответствующие свойства матричных групп. Благодаря соотношению подходящих дробей разложение $\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$ может быть записано как произведение матриц:

$\left(\begin{array}{cc}*& a\\ *& q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_2\end{array}\right)\dots \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a_s\end{array}\right)$,

где звёздочками в первой матрице закрыты числа, значение которых не существенно.

Руководствуясь этим, изучается группа, порождённая матрицами вида:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& a^{\prime }\end{array}\right),a,a^{\prime }\in 𝒜$,

на наличие в ней матриц с тем или иным значением в нижней правой позиции. Для анализа распределения таких значений используются тригонометрические суммы, а именно — специальные аналоги коэффициентов Фурье.

Использование такого инструментария, а также работа фактически со множествами произведений (где элементы множества — матрицы) придаёт задаче арифметико-комбинаторный характер.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья