Гипотеза Пойи

График сумм $L(n)$ вплоть до $n=10^7$. Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Отрезок, на котором впервые нарушается гипотеза Пойи, крупным планом.

Логарифмический график $L(n)$ вплоть до $n=2\cdot 10^9$. Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции $L(n)$.

Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — Шаблон:Num — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.

Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого $n$ выполнено неравенство:

$L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)⩽0$,

где $\lambda (k)$ — функция Лиувилля, принимающая значение $1$, если $k$ разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и $-1$ в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно $1,845\cdot 10^{361}$. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — Шаблон:Num. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — Шаблон:Num. Гипотеза ложна для большинства чисел между Шаблон:Num и Шаблон:Num; максимум, которого достигает $L(n)$ в этом диапазоне — Шаблон:Num (для Шаблон:Num). Неизвестно, меняет ли $L(n)$ знак бесконечное количество раз.

Нули функции

Нули функции $L(n)$ распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом:

2; 4; 6; 10; 16; 26; 40; 96; 586; Шаблон:Num; Шаблон:Num; Шаблон:Num; Шаблон:Num; Шаблон:Num, …

Медленный рост продолжается вплоть до члена под номером 252, равного Шаблон:Num, а следующий член уже равен Шаблон:Num.

Ссылки

• Популярное видео на канале SparksMaths Шаблон:Wayback
• Статья на MathWorld Шаблон:Wayback