Главное значение интеграла по Коши

Главное значение интеграла по Коши — это обобщение понятия несобственных интегралов, позволяющее вычислять некоторые расходящиеся интегралы. Идея главного значения интеграла по Коши заключается в том, что при приближении интервалов интегрирования к особой точке с обеих сторон «с одинаковой скоростью», особенности нивелируют друг друга (за счёт различных знаков слева и справа), и в результате можно получить конечный предел, который и называют главным значением интеграла по Коши. Эта концепция имеет важные применения в комплексном анализе (Теорема Сохоцкого — Племеля).

Так, например, несобственный интеграл второго рода$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}$, не существует, однако он существует в смысле главного значения.

Определение главного значения интеграла по Коши

Определение (для особой точки ∞)

Пусть $f(x)$ определена на интервале $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, но несобственный интеграл I рода $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ расходится. Если существует конечный предел

$\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}f(x)dx,$

то этот предел называют главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции $f$ в области $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ и обозначается символом

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$

При этом говорят, что функция $f(x)$ интегрируема на интервале $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ по Коши (или интегрируема в области $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx.$ Этот интеграл расходится, потому что расходящимся будет, например, интеграл $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx,$ но существует главное значение данного интеграла в смысле Коши:

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}xdx=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{2}{|}_{-A}^A=0.$

Теорема

Пусть $f$ ограничена на $[-A,A]\mathrm{\forall }A>0$. Тогда:

• Если $f(x)$ — нечётная на $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, то $f$ интегрируема на $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ в смысле главного значения Коши.
• Если $f(x)$ — чётная на $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, то сходимость интеграла $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ эквивалентна сходимости интеграла $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$

Определение (для конечной особой точки)

Значения площадей фигур слева и справа равны при всех $\epsilon \in (0,2)$, поэтому главное значение интеграла по Коши равно нулю

Пусть функция $f:[a,b]\to ℝ$ удовлетворяет условиям:

1. $c\in (a,b)\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }\epsilon \in (0,\delta )\mathrm{\forall }x\in [a,c-\epsilon ]\cup [c+\epsilon ,b](f(x)<M\in ℝ)$
2. Несобственный интеграл второго рода $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ расходится.

Если существует конечный предел

$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{c+\epsilon }{\overset{b}{\int }}f(x)dx),$

то этот предел называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции $f$ на отрезке $[a,b]$ и обозначается символом

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

При этом говорят, что функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ по Коши (интегрируема в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл второго рода $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}$ (см. рисунок) Он расходится, поскольку расходится, например, интеграл $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{x}.$ При этом в понимании главного значения по Коши данный интеграл существует и равен нулю:

$\begin{array}{cc}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}& =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\underset{-2}{\overset{-\epsilon }{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{\epsilon }{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x})=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |x|{|}_{-2}^{-\epsilon }+\ln |x|{|}_{\epsilon }^2)=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |-\epsilon |-\ln |\epsilon |)=\\ & =0.\end{array}$

Случай нескольких особых точек на промежутке интегрирования

Сумма площадей фигур верхней полуплоскости совпадает с суммой площадей фигур нижней полуплоскости при всех $\epsilon \in (0,1)$, поэтому главное значение интеграла в смысле Коши равно нулю

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx$ (см. рисунок). Особые точки подынтегральной функции $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$ есть точки -1, 1. Данный интеграл расходится, потому расходится, например, интеграл

$\begin{array}{cc}\underset{2}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx& =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{2}{\overset{A}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx=\\ & =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln |x^2-1|{|}_{x=2}^A=\\ & =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\ln |A^2-1|-\ln 3)=\\ & =+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Проверим интегрируемость функции $f$ в смысле Коши:

$\begin{array}{cc}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx& =\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{-1/\epsilon }{\overset{-1-\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx+\underset{-1+\epsilon }{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx+\underset{1+\epsilon }{\overset{1/\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx)=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |x^2-1|{|}_{-1/\epsilon }^{-1-\epsilon }+\ln |x^2-1|{|}_{-1+\epsilon }^{1-\epsilon }+\ln |x^2-1|{|}_{1+\epsilon }^{1/\epsilon })=0.\end{array}$

Следовательно, функция $f$ интегрируема в смысле Коши на промежутке $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

Источники

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Киев, Высшая школа, 1985.