Гладкое расслоение

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Определение

Пусть $Y$ и $X$ — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий $\pi :Y\to X$ называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие $(U_i)$ многообразия $X$, многообразие $V$ и семейство диффеоморфизмов ${\phi }_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times V$, связанных гладкими функциями перехода ${\rho }_{ij}={\phi }_i{\phi }_j^{-1}$ на $(U_i\cap U_j)\times V$.

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения $Y$, базой $X$, типичным слоем $V$ и атласом расслоения $(U_i,{\phi }_i,{\rho }_{ij})$. Замкнутое подмногообразие ${\pi }^{-1}(x)\subset Y$ называется типичным слоем гладкого расслоения в точке $x\in X$.

Примеры

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

Свойства

• Пространство расслоения $Y$ наделено координатным атласом $(x^{\mu },y^a)$, где $(y^a)$ — координаты на $V$ и $(x^{\mu })$ — координаты на $X$, функции перехода которых не зависят от координат $(y^a)$.
• Для всякой точки $x\in X$ существует открытая окрестность $U$ и вложение $s:U\to Y$, такое что $\pi \circ s=\mathrm{I}\mathrm{d}(U)$. Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

• Слоение
• Суперрасслоение
• Градуированное расслоение
• Банахово и гильбертово расслоения

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886