Супергеометрия

Супергеометрия — это дифференциальная геометрия модулей над ${\mathbb{Z}}_2$-градуированными алгебрами, на супермногообразиях и градуированных многообразиях. Супергеометрия является неотъемлемой частью многих классических и квантовых полевых моделей с участием нечетных полей, например, суперсимметричной теории поля, БРСТ теории, супергравитации.

Супергеометрия формулируется в терминах ${\mathbb{Z}}_2$-градуированных модулей и пучков над ${\mathbb{Z}}_2$-градуированными коммутативными алгебрами. В частности, суперсвязности определяются как связности на этих модулях и пучках. Однако, супергеометрия не является частным случаем некоммутативной геометрии из-за разных определений дифференцирования.

Градуированные многообразия и супермногообразия описываются в терминах пучков градуированных коммутативных алгебр. Градуированные многообразия характеризуются пучками на гладких многообразиях, тогда как супермногообразия определяются склеиванием пучков супервекторных пространств. Выделяют несколько типов супермногообразий: гладкие супермногообразии (включая $H^{\mathrm{\infty }}$-, $G^{\mathrm{\infty }}$-, $G{H}^{\mathrm{\infty }}$-супермногообразия), $G$-супермногообразия и супермногообразия Девитта. В частности, супервекторные расслоения и главные суперрасслоения рассматриваются в категории $G$-супермногообразий. При этом, главные суперрасслоения и суперсвязности на них определяются аналогично гладким главным расслоениям и связностям на них. Стоит отметить, что главные расслоения рассматриваются также в категории супермногообразий.

См. также

• Суперсимметрия
• Градуированное многообразие
• Связность (некоммутативная геометрия)

Литература

• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Rogers, A., «Supermanifolds: Theory and Applications» (World Scientific, 2007) ISBN 981-02-1228-3
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
• Сарданашвили Г. А., «Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля» (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

Ссылки

• G. Sardanashvily, Lectures on supergeometry, arXiv: 0910.0092