Гномон (фигура)

Закрашенная фигура АEFGCB - Гномон, для DGFE

Гномон — геометрическая фигура, которая при соответствующем соединении с другой фигурой, образует фигуру, ей подобную.

Например, если взять параллелограмм $ABCD$ и построить подобный параллелограмм $DEFG$ с общим углом $D$, то фигура $ABCGFE$ будет являться гномоном для фигуры $DEFG$.

Гномон и фигурные числа

Пифагорейцы исследовали фигурные числа. Стало известно, что эти числа можно получить, добавив гномон к предыдущему фигурному числу.

Например, гномоном четырехугольного числа (квадрата) является нечетное число. Общий вид нечётного числа — $2n+1$, число $n$ может быть равно 1, 2, 3... Например, если рассмотреть квадрат 8 (он равен 64), то он будет выглядеть как таблица:

$8^2$= 64

8	8	8	8	8	8	8	8
8	7	7	7	7	7	7	7
8	7	6	6	6	6	6	6
8	7	6	5	5	5	5	5
8	7	6	5	4	4	4	4
8	7	6	5	4	3	3	3
8	7	6	5	4	3	2	2
8	7	6	5	4	3	2	1

Чтобы из таблицы, демонстрирующей квадрат числа $n$, получить таблицу для демонстрации квадрата числа $n+1$, нужно добавить к таблице $2n+1$ дополнительные клетки: по одному числу слева от каждой строки, по одному числу сверху от каждого столбца и ещё одно число в угол. Например, чтобы из таблицы для семёрки получить таблицу для восьмёрки, нужно добавить к таблице 15 элементов. Число клеток (в данном примере 64) и является квадратом числа.

С помощью этого метода можно доказать, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$. Так, в упомянутой фигуре всего 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 клетки, а это и есть $8^2$.

См. также

• Теорема о гномоне