Теорема о гномоне

Теорема о гномоне — это геометрическая теорема. Она утверждает, что два параллелограмма в гномоне имеют равную площадь.

Теорема о гномоне утверждает, что площадь зеленой зоны равна площади красной.

Формулировка

Дан параллелограмм $ABCD$, на диагонали $AC$ отмечена точка $P$. Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $P$, пересекает сторону $AD$ в точке $I$, а сторону $BC$ — в точке $F$. Прямая, параллельная $BC$ и проходящая через точку $P$, пересекает сторону $AB$ в точке $H$, а сторону $CD$ — в точке $G$. Теорема о гномоне утверждает, что у параллелограммов $HBFP$ и $IPGD$ равная площадь.

Гномон — это название L-образной фигуры, в данном примере гномоном является фигура $ADGPFB$. Параллелограммы равной, согласно теореме, площади, называются «дополнениями» (Шаблон:Lang-en) гномона.

Доказательство

Для доказательства теоремы рассматриваются площадь самого большого параллелограмма ($ABCD$) и двух внутренних параллелограммов, внутри которых находится диагональ $AC$ (это параллелограммы $AIPH$ и $PGCF$). Во-первых, по свойству параллелограмма диагонали делят параллелограмм на два треугольника равной площади. Во-вторых, разница площади самого большого параллелограмма и двух параллелограммов, внутри которых находится диагональ — это и есть площадь двух дополнений гномона (на рисунке дополнения гномона выделены зелёным и красным). Отсюда следует:

$|IPGD|=\frac{|ABCD|}{2}-\frac{|AHPI|}{2}-\frac{|PFCG|}{2}=|HBFP|$

Связанные утверждения и обобщения

Геометрическое представление деления числа a на b

На данном чертеже выполняется соотношение $\frac{|AH|}{|HB|}=\frac{|HP|}{|PG|}$

Теорема о гномоне используется для того, чтобы построить новый параллелограмм или прямоугольник равной площади с помощью циркуля и линейки. Также она позволяет дать геометрическую интерпретацию деления, что позволяет перевести геометрические задачи в алгебраические. Так, если даны длины двух отрезков, можно построить третий, равный частному данных отрезков. Ещё один способ применения теоремы — разделение отрезка точкой точно в таком же отношении, как разделён данный отрезок (см. чертёж).

Теорема в пространстве. $𝔸$— параллелепипед, $𝔹,ℂ,𝔻$ имеют одинаковый объём.

Аналогичное утверждение может быть сделано в пространстве. В этом случае даётся точка на пространственной диагонали параллелепипеда и вместо двух параллельных прямых появляются три плоскости. Три плоскости разделяют параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов, две плоскости находятся рядом с диагональю. Три параллепипеда здесь играют роль дополнений, они имеют равный объём.

История

Теорема о гномоне описана в «Началах» Евклида (приблизительно в 300 год до н. э.), с её помощью в книге доказываются и другие теоремы. Теорема описана под номером 43 в первой книге «Начал», причём Евклид не использовал для описания чертежа термин «гномон» Он будет введён во второй книге «Начал». С помощью гномона Евклид доказывает и другие теоремы, например, №6 в книге II, №29 в книге VI и теоремы 1, 2, 3 и 4 в книге XIII.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• David E. Joyce Теорема о гномоне mathcs.clarku.edu
• David E. Joyce Определение гномона в «Началах» Евклида mathcs.clarku.edu