Голоморфная выпуклость

Голомо́рфная вы́пуклость (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn, от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образШаблон:Sfn) области комплексного пространства — понятие комплексного анализа, раздела математики, связанное с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитической поверхностью. Это частный максимальный случай К-выпуклостиШаблон:Sfn: произвольная К-выпуклая область всегда голоморфно выпуклаШаблон:Sfn.

Синоним: аналитическая выпуклостьШаблон:Sfn.

Голоморфная выпуклость обобщает более наглядное понятие обычной геометрической выпуклости, но при этом доставляет необходимое и достаточное условие для областей голоморфностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение голоморфной выпуклости

Голоморфная выпуклость — свойство области $D\in {ℂ}^n$ такое, что для произвольного множества $A$, компактно принадлежащего $D$, $A⋐D$, множество

$F_A\equiv \bigcup _{f\in H_D}\{z\in ℂ:|f(z)|⩽\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{z\in A}|f(z)|,z\in D\}$

компактно в $D$, $F_A⋐D$. Другими словами, область $D\in {ℂ}^n$ называется голоморфно выпуклой, когда для любого множества $A$, компактно принадлежащего $D$, $A⋐D$, существует такое множество $F_A$, $A\subset F_A⋐D$, что для произвольной точки $z^0\in D\setminus F_A$ найдется такая функция $f$, голоморфная в области $D$, $f\in H_D$, что выполняется следующее неравенствоШаблон:Sfn:

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{z\in A}|f(z)|<|f(z^0)|$.

Выпуклая оболочка невыпуклоЙ области

Альтернативное определение. Голоморфно выпуклая оболочка произвольного множества $A\subset D$ — множество точек

$F_A=\{z^0\in D:|f(z^0)|⩽\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{z\in A}|f(z)|\}$,

где данное неравенство верно для всех функций $f$, голоморфных в области $D$, $f\in H_D$. Область $D\in {ℂ}^n$ называется голоморфно выпуклой, когда голоморфно выпуклая оболочка $F_A$ любого множества $A$, компактно принадлежащего $D$, также компактно принадлежит $D$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$A⋐D\Rightarrow F_A⋐D$.

Такие определения голоморфно выпуклой области хороши тем, что с их помощью можно определять голоморфную выпуклость, не выходя за пределы области. Очевидно, что для линейных голоморфных функций голоморфная выпуклость совпадает с обычной геометрической выпуклостью. Для иллюстрации на рисунке справа продемонстрировано, каким образом обычная невыпуклость области нарушает условие $A⋐D\Rightarrow F_A⋐D$Шаблон:Sfn.

Характеристика области голоморфности

Достаточность области голоморфности

Теорема 1. Условие голоморфной выпуклости области комплексного пространства необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоморфностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Но эта характеристика менее наглядна и эффективно проверяемая, чем условие обычной геометрической выпуклости. Теория субгармонических функций позволяет обосновать другую трактовку характеристики области голоморфности, которая более геометрична и позволяет определить эффективные критерии областей голоморфностиШаблон:Sfn.

Достаточность утверждения теоремы формулируется в виде следующей теоремыШаблон:Sfn.

Теорема 2 (Картан и Туллен). Любая голоморфно выпуклая область $D\subset {ℂ}^n$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ есть область голоморфностиШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H