Гравитация с массивным гравитоном

Гравитация с массивным гравитоном — название класса теорий гравитации, в которых частица-переносчик взаимодействия (гравитон) предполагается массивной, примером является релятивистская теория гравитации. Характерная особенность таких теорий — проблема разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова (Шаблон:Lang-en), то есть наличие конечной разности в предсказаниях предела такой теории при массе гравитона, стремящейся к нулю, и теории с безмассовой частицей с самого начала.

Проблемы массивного гравитона в линейном приближении

Общую теорию относительности в линеаризованном пределе можно сформулировать как теорию безмассового поля спина 2 на пространстве Минковского, описываемого симметричным тензором $h_{\mu \nu }$. Естественным обобщением такой теории является введение в лагранжиан массового члена различного вида. Чаще всего такой член выбирают в виде Паули — Фирца $m^2(h_{\mu \nu }-{\eta }_{\mu \nu }h)$, что как можно показать, наиболее естественно, однако возможен и другой выбор (типа $m^2(h_{\mu \nu }-\alpha {\eta }_{\mu \nu }h),\alpha \ne 1$). При этом уравнения движения для гравитационного поля приобретают вид

$-◻h_{\mu \nu }+h_{\mu ,\lambda \nu }^{\lambda }+h_{\nu ,\lambda \mu }^{\lambda }-{\eta }_{\mu \nu }{h}_{,\kappa \lambda }^{\kappa \lambda }-h_{,\mu \nu }+{\eta }_{\mu \nu }◻h+m^2(h_{\mu \nu }-\alpha {\eta }_{\mu \nu }h)=\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

где индексы поднимаются и опускаются метрикой Минковского ${\eta }_{\mu \nu }$, $◻$ — оператор д'Аламбера, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона, $T_{\mu \nu }$ — тензор энергии-импульса источников поля. Дивергенция этих уравнений в силу законов сохранения должна быть равна 0, что даёт $h_{\mu \nu }^{,\nu }=\alpha h_{,\mu }$ и после подстановки в уравнения и взятия следа

$2(\alpha -1)◻h+m^2(1-4\alpha )h=\frac{16\pi G}{c^4}T.$

Поэтому имеется две различные возможности: либо $\alpha =1$ — тогда след тензора $h=-\frac{16\pi G}{3c^4{m}^2}T$ не является динамической переменной теории, а всецело определяется следом источника $T$, либо $\alpha \ne 1$ и $h$ — динамическая переменная. Первый случай даёт обоснование массовому члену Паули — Фирца, но приводит к следующему выражению для гравитационного поля:

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻+m^2}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{\eta }_{\mu \nu }T)+\frac{1}{3m^2}\frac{1}{-◻+m^2}{T}_{,\mu \nu },$

где введено краткое обозначение $\frac{1}{-◻+m^2}$ для интегрального оператора, обратного дифференциальному $(-◻+m^2)$, в отличие от

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }T)$

в линеаризованной общей теории относительности. Таким образом, получаемая теория имеет две проблемы при $m\to 0$, выражающиеся в неправильной величине гравитационных эффектов от первого слагаемого (1/3 вместо 1/2), а также в стремлении второго из них к бесконечности. Первый отмеченный эффект и носит название разрыва ван Дама — Вельтмана — Захарова по именам первооткрывателей. В частности, из-за этого отклонение света в теории $m\to 0$ составляет 3/4 величины общей теории относительности, а прецессия перигелия — 2/3.

Второй подход приводит к появлению новой динамической степени свободы, которая восстанавливает предсказания до нужного уровня, так как общее решение имеет вид

$\frac{c^4}{16\pi G}{h}_{\mu \nu }=\frac{1}{-◻+m^2}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{3}{\eta }_{\mu \nu }T)-\frac{1}{-◻+m_0^2}\frac{1}{6}{\eta }_{\mu \nu }T+\frac{2\alpha -1}{2(1-\alpha )}\frac{1}{-◻+m^2}\frac{1}{-◻+m_0^2}{T}_{,\mu \nu },$

где $m_0^2=m^2\frac{4\alpha -1}{2(1-\alpha )}$, и при $m\to 0$ первый и второй член дают 1/3 + 1/6 = 1/2. Но при взаимодействии с материей второй член участвует со знаком, противоположным первому, так что он представляет собой скалярное поле отрицательной энергии (Шаблон:Lang-en), что вызывает нестабильность теории по отношению к перекачке в него энергии.

Вообще корень проблемы лежит в разложении массивного поля спина 2 по спиральностям и их взаимодействии с веществом. При стремлении массы поля к нулю компоненты спиральности $\pm 1$ отделяются от остальных, образуя независимое свободное безмассовое поле Максвелла, но компоненты спиральности $\pm 2$ и $0$ остаются зацеплёнными и взаимодействуют с веществом совместно. Ситуацию можно решить добавлением ещё одного скалярного поля, но для восстановления корректного предела оно должно иметь отрицательную энергию, что опять-таки недопустимо в стабильной теории поля.

Более подробный разбор, не ограничивающийся линеаризованным приближением, проведён в работах .