Граф Госсета

Граф Госсета, названный именем Торолда Госсета, является Шаблон:Не переведено 5 7-мерного Шаблон:Не переведено 5. Это регулярный граф с 56 вершинами и валентностью 27Шаблон:R.

Построение

Граф Госсета можно построить явно следующим образом. 56 вершин — это вектора в R⁸, полученные перестановкой координат вектора $(3,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1)$ (28 вершин) и противоположные им вектора (ещё 28 вершин). Два таких вектора соединены ребром, если их скалярное произведение равно 8.

Альтернативное построение основывается на полном графе K₈ с 8 вершинами. Вершины графа Госсета можно отождествить с двумя копиями рёбер графа K₈. Две вершины графа Госсета тогда из одной копии соединены ребром, если они соответствуют несмежным рёбрам графа K₈. Две вершины, полученные из разных копий связаны ребром, если они соответствуют рёбрам, имеющим одну общую вершину.

Свойства

В векторном представлении графа Госсета две вершины находятся на расстоянии два, когда их скалярное произведение равно -8 и на расстоянии три, если их скалярное произведение равно -24 (что возможно, только когда вектора симметричны относительно начала координат). В представлении на основе рёбер графа K₈ две вершины графа Госсета находятся на расстоянии три тогда и только тогда, когда они соответствуют двум копиям одного и того же ребра графа K₈. Граф Госсета является дистанционно-регулярным с диаметром три.

Порождённый подграф соседей любой вершины в графе Госсета изоморфен графу Шлефли.

Группа автоморфизмов графа Госсета изоморфна группе Коксетера Шаблон:Не переведено 5, а потому имеет порядок 2903040. Многогранника Госсета 3₂₁ является полуправильным многогранником. Поэтому автоморфизм группы графа Госсета E₇ действует транзитивно на его вершины, что делает его вершинно-транзитивным.

Характеристический многочлен графа Госсета равен.

$(x-27)(x-9{)}^7(x+1{)}^{27}(x+3{)}^{21}.$

Таким образом, этот граф является целым графом.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld