Группа Ри

Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил РиШаблон:SfnШаблон:Sfn из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает Шаблон:Не переведено 5, которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах Шаблон:Не переведено 5.

В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы, определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические Шаблон:Не переведено 5 над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.

ТитсШаблон:Sfn определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. ТитсШаблон:Sfn и ХиШаблон:Sfn ввели группы Ри бесконечномерных Шаблон:Не переведено 5.

Построение

Если Шаблон:Mvar является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие Шаблон:Mvar, в частности, дающие группы Шаблон:Math со значениями в поле Шаблон:Mvar. Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

• Любой автоморфизм $\sigma$ поля Шаблон:Mvar порождает эндоморфизм ${\alpha }_{\sigma }$ группы Шаблон:Math
• Любой автоморфизм $\pi$ диаграммы Дынкина порождает автоморфизм ${\alpha }_{\pi }$ группы Шаблон:Math.

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля Шаблон:Mvar. Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы Шаблон:Mvar, в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы Шаблон:Math и Шаблон:Math и над полями характеристики 3 группы Шаблон:Math имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом ${\alpha }_{\phi }$, связанным с эндоморфизмом Фробениуса $\phi$ поля Шаблон:Mvar. Грубо говоря, этот эндоморфизм ${\alpha }_{\pi }$ приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле Шаблон:Mvar имеет эндоморфизм $\sigma$, квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: ${\sigma }_2=\phi$. Тогда группа Ри определяется как группа элементов Шаблон:Mvar из Шаблон:Math, таких что ${\alpha }_{\pi }(g)={\alpha }_{\sigma }(g)$. Если поле Шаблон:Mvar совершенно, то ${\alpha }_{\pi }$ и ${\alpha }_{\phi }$ являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции ${\alpha }_{\phi }/{\alpha }_{\pi }$ на Шаблон:Math.

В случае, когда Шаблон:Mvar является конечным полем порядка Шаблон:Mvar (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B₂(2²ⁿ⁺¹), F₄(2²ⁿ⁺¹) и G₂(3²ⁿ⁺¹), фиксированные по инволюции.

Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы Ри

Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Шаблон:Math, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма $\alpha$ группы Шаблон:Math, где Шаблон:Math — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень $\alpha$ является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса $\phi$. Возможны три случая

• Для групп Шевалле $\alpha ={\phi }^n$ для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем.
• Для групп Штейнберга ${\alpha }^m={\phi }^n$ для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем.
• Для групп Ри, ${\alpha }^m={\phi }^n$ для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка Шаблон:Mvar с нечётным n и нет соответствующего поля порядка p^n/2.

Группы Ри типа ²B₂

Группы Ри типа ²B₂ первым нашёл СудзукиШаблон:Sfn, используя другой подход, и они обычно называются Шаблон:Не переведено 5. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B₂ при использовании варианта построения СтайнбергаШаблон:Sfn. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F₄ и G₂, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа ²G₂

Группы Ри типа ²G₂(3²ⁿ⁺¹) ввёл РиШаблон:Sfn, который показал, что они все просты, за исключением первой группы ²G₂(3), которая изоморфна группе автоморфизмов Шаблон:Math. УилсонШаблон:Sfn дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 3²ⁿ⁺¹ элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок $q^3(q^3+1)(q-1)$, где $q=3^{2n+1}$

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для ²G₂(3).

Шаблон:Не переведено 5 является циклической и имеет порядок $2n+1$.

Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или ${\mathrm{E}}_2^{*}(q)$

Группа Ри $2^{}{\mathrm{G}}_2(q)$ имеет Шаблон:Не переведено 5 на $q^3+1$ точках и действует как автоморфизмы $\mathrm{S}(2,q+1,q^3+1)$ системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G₂(q).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. Шаблон:Не переведено 5 показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и Шаблон:Не переведено 5. Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Шаблон:Math и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида $𝐙/2𝐙\times {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(5)$ Янко нашёл спорадическую группу J₁. КлейдманШаблон:Sfn обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ²G₂ исключительно трудно описывать. ТомпсонШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом $\sigma$ конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм $\sigma$. Наконец, БомбиериШаблон:Sfn использовал Шаблон:Не переведено 5, чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что ${\sigma }^2=3$ во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера (Шаблон:Не переведено 5 и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации ГоренстейнаШаблон:Sfn, который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. АнгеарШаблон:Sfn дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа ²F₄

Группы Ри типа $2^{}{\mathrm{F}}_4(2^{2n+1})$ ввёл РиШаблон:Sfn. Они являются простыми, за исключением первой $2^{}{\mathrm{F}}_4(2)$, для которой ТитсШаблон:Sfn показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. УилсонШаблон:Sfn дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 2²ⁿ⁺¹, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри $2^{}{\mathrm{F}}_4(2^{2n+1})$ имеет порядок $q^{12}$ $(q^6+1)$ $(q^4-1)$ $(q^3+1)$ $(q-1)$ где $q=2^{2n+1}$. Мультипликатор Шура тривиален. Шаблон:Не переведено 5 является циклической с порядком $2n+1$.

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. ТитсШаблон:Sfn показал, что все Шаблон:Не переведено 5 получаются из групп Ри типа $2^{}{\mathrm{F}}_4$.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• ATLAS: Ree group R(27) Шаблон:Wayback