Группа крашеных кос

Центральная коса является крашеной

Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от Шаблон:Lang-en) — группа, образованная для заданного $n$ всеми крашеными косами из $n$ нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос $B_n$ и обозначается символом $P_n$.

Определение

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Произведение кос

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение $\alpha \beta$ двух крашеных кос $\alpha$ и $\beta$ с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество $P_n$ всех крашеных кос из $n$ нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных косШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Траектории движения точек на плоскости

Шаблон:Основная статья Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^2)$ упорядоченных наборов $n$ различных точек евклидовой плоскостиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$P_n\cong {\pi }_1({\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^2))$.

Автоморфизмы свободной группы

Шаблон:Основная статья Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с $n$ проколамиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$P_n\cong \mathrm{P}\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{G}(D_n^2;\partial D_n^2)$.

Задание образующими и соотношениями

Диаграммы образующих $A_{i,j}$ группы крашеных кос

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких $i$ и $j$, что $1\le i<j\le n$, пусть

$A_{i,j}:={\sigma }_{j-1}{\sigma }_{j-2}\dots {\sigma }_{i+1}{\sigma }_i^2{\sigma }_{i+1}^{-1}\dots {\sigma }_{j-2}^{-1}{\sigma }_{j-1}^{-1}$.

Данные $n(n-1)/2$ кос порождают группу крашеных кос $P_n$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Они называются стандартными образующими или образующими МарковаШаблон:Sfn.

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениямиШаблон:Sfn:

$A_{r,s}^{-1}{A}_{i,j}{A}_{r,s}=\{\begin{array}{cc}{A}_{r,s}^{-1}{A}_{i,j}{A}_{r,s},& s<i\text{ или }i<r<s<j;\\ A_{r,j}{A}_{i,j}{A}_{r,j}^{-1},& s=i;\\ A_{r,j}{A}_{s,j}{A}_{i,j}{A}_{s,j}^{-1}{A}_{r,j}^{-1},& i=r<s<j,\\ \text{[}{A}_{r,j},A_{s,j}\text{]}{A}_{i,j}\text{[}{A}_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}^{-1},& r<i<s<j,\end{array}$

где $[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ — коммутатор элементов $x$ и $y$.

Причёсанная нормальная форма

Причёсанный вид косы

Представление крашеной косы $\beta \in P_n$ в виде

$\beta ={\beta }_n{\beta }_{n-1}\dots {\beta }_2$

называется её причёсанным видом, если каждая коса ${\beta }_k$ имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме $k$-ой, являются прямыми, а $k$-ая зацепляется только за нити с меньшими номерамиШаблон:Sfn.

Запись косы $\beta$, в которой каждая коса ${\beta }_k$ представлена в виде Шаблон:Нп5 в образующих $A_{1,k},A_{2,k},\dots ,A_{k-1,k}$, называется её причёсанной нормальной формой:

$\beta =(A_{i_1,n}^{e_1}{A}_{i_2,n}^{e_2}\dots A_{i_k,n}^{e_k})\cdot (A_{j_1,n-1}^{r_1}{A}_{j_2,n-1}^{r_2}\dots A_{j_m,n-1}^{r_m})\cdot \dots \cdot A_{1,2}^s.$

См. также

• Группа кос
• Теория кос

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья