Конфигурационное пространство (топология)

Конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^1)$ двухэлементных подмножеств окружности гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса

Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.

Выделяют два типа конфигурационных пространств: пространство ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ упорядоченных наборов $n$ различных точек данного пространства $M$ и пространство ${\mathrm{UConf}}_n(M)$ неупорядоченных наборов его $n$ различных точек, где $n\ge 1$.

Введение

Понятие конфигурационного пространства естественно возникает во множестве областей математики и её приложений.

Конфигурационные пространства поверхностей, таких как евклидова плоскость ${ℝ}^2$ и сфера $S^2$, тесно связаны с теорией косШаблон:Переход и пространствами модулей. Кроме того, конфигурационные пространства многообразий возникают в различных задачах алгебраической топологии и могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространств непрерывных отображенийШаблон:Переход. Широкие приложения допускает задача вычисления гомотопических типов конфигурационных пространств.

Например, пространство ${\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^3)$ наборов различных точек евклидова пространства ${ℝ}^3$ является естественным контекстом гравитационной задачи $n$ тел. Так, существование периодических решений соответствующей гамильтоновой системы может быть получено путём изучения категории Люстерника — Шнирельмана и ряда Пуанкаре пространства петель $\mathrm{\Omega }{\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^3)$Шаблон:Sfn.

Конфигурационные пространства возникают в задачах, известных под общим именем «Тринадцатая проблема Гильберта», а именно, в задаче представления (многозначных) алгебраических функций от нескольких переменных в виде композиции функций меньшего числа переменныхШаблон:Sfn. Классическим примером результата в данном направлении является утверждение о том, что при $n\ge 4$ функция, сопоставляющая набору $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ комплексных чисел множество из $n$ корней многочлена

$z^n+a_1{z}^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_n$,

не может быть представлена в виде композиции функций меньшего чем $n-1$ числа переменныхШаблон:Sfn. В 1970 году Владимир Игоревич Арнольд предложил подход к этой задаче, основанный на подсчёте Шаблон:Нп5 конфигурационного пространства ${\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^2)$ плоскости ${ℝ}^2$, и доказал данное утверждение в случае, если число $n$ является степенью двойкиШаблон:Sfn.

Родственным к данному является естественное возникновение конфигурационных пространств в теории накрытий. Так, каждое $n$-листное накрытие $p:X\to Y$ задаёт непрерывное отображение $Y\to {\mathrm{UConf}}_n(X)$, сопоставляющее точке $y\in Y$ её полный прообраз $p^{-1}(y)$. Данное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп

$p_{*}:{\pi }_1(Y)\to B_n(X)$,

где $B_n(X):={\pi }_1({\mathrm{UConf}}_n(X))$ — так называемая группа кос топологического пространства $X$Шаблон:Переход. Этот гомоморфизм является важным инвариантом накрытия $p$Шаблон:Sfn.

Определение

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов $n$ различных точек топологического пространства $M$ — это множество $n$-компонентных кортежей попарно различных элементов из $M$, то есть подмножествоШаблон:Sfn

${\mathrm{Conf}}_n(M):=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in M^n\mid x_i\ne x_j$ для всех $i\ne j\}$

декартовой степени $M^n$, рассматриваемое с топологией, индуцированной с топологии произведения на $M^n$. Также используются обозначения $\mathrm{Conf}(M,n)$Шаблон:Sfn, ${𝒞}^n(M)$Шаблон:Sfn и ${𝔽}_n(M)$Шаблон:Sfn.

Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов $n$ различных точек топологического пространства $M$ — это пространство ${\mathrm{UConf}}_n(M)$ его $n$-элементных подмножествШаблон:Sfn. Иными словами, это факторпространство пространства ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ по отношению, при котором два кортежа эквивалентны, если один может быть получен из другого перестановкой компонент. Также используются обозначения $\mathrm{Conf}(M,n)/S_n$Шаблон:Sfn, ${𝒰𝒞}^n(M)$Шаблон:Sfn и ${𝔽}_n(M)/S_n$Шаблон:Sfn.

В вырожденном случае $n=1$ имеются равенства ${\mathrm{Conf}}_1(M)={\mathrm{UConf}}_1(M)=M$.

В литературе также встречаются следующие модификации предыдущих конструкций.

Пространство конечных упорядоченных наборов различных точек топологического пространства $M$ — это дизъюнктное объединение

${\mathrm{Conf}}_{<\mathrm{\infty }}(M):=\coprod _{n\ge 0}{\mathrm{Conf}}_n(M)$.

Пространство конечных подмножеств топологического пространства $M$ — это дизъюнктное объединение

${\mathrm{UConf}}_{<\mathrm{\infty }}(M):=\coprod _{n\ge 0}{\mathrm{UConf}}_n(M)$.

Свойства

Конфигурационные пространства гомеоморфных топологических пространств гомеоморфны.

В случае, если $M$ является топологическим многообразием (возможно, с непустым краем) размерности $m$, пространства ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ и ${\mathrm{UConf}}_n(M)$ являются многообразиями размерности $n\cdot m$. Кроме того, если $M$ связно и $m\ge 2$, то оба пространства ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ и ${\mathrm{UConf}}_n(M)$ связныШаблон:Sfn.

Каноническая проекция $\pi :{\mathrm{Conf}}_n(M)\to {\mathrm{UConf}}_n(M)$ совпадает с канонической проекцией на факторпространство пространства ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ по следующему действию симметрической группы:

$\begin{array}{cc}{S}_n\times {\mathrm{Conf}}_n(M)& ⟶{\mathrm{Conf}}_n(M)\\ (\sigma ,x)& ⟼\sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots ,x_{\sigma (n)})\end{array}$.

Поскольку данное действие непрерывно и вполне разрывно, отображение $\pi$ является накрытием, причем регулярным. Число его листов равно порядку группы $S_n$, то есть $n!$.

Евклидовы пространства

Конфигурационные пространства некоторых евклидовых пространств можно описать в следующих элементарных терминах.

Прямая

Вещественная прямая $ℝ$ гомеоморфна единичному интервалу $(0,1)$, поэтому для изучения структуры конфигурационных пространств прямой достаточно рассматривать конфигурационные пространства такого интервала. Они, в свою очередь, допускают следующие описания.

Симплексы размерности от нуля до трёх: точка, отрезок, треугольник и тетраэдр

Каждый элемент пространства ${\mathrm{UConf}}_n((0,1))$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек интервала $(0,1)$ задаётся такой последовательностью $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ вещественных чисел, что

$0<s_1<s_2<\dots <s_n<1$.

Непосредственно из его определения следует, что такая последовательность соответствует внутренней точке симплекса размерности $n$, причем данная кодировка непрерывно зависит от исходной последовательности. Таким образом, пространство ${\mathrm{UConf}}_n((0,1))$ гомеоморфно внутренности $n$-мерного симплексаШаблон:Sfn. Например, пространство ${\mathrm{UConf}}_2((0,1))$ гомеоморфно внутренности треугольника, а пространство ${\mathrm{UConf}}_3((0,1))$ — внутренности тетраэдра.

Каждый неупорядоченный набор $n$ различных точек единичного интервала $(0,1)$ можно упорядочить ровно $n!$ способами. Таким образом, пространство ${\mathrm{Conf}}_n((0,1))$ гомеоморфно дизъюнктному объединению $n!$ копий пространства ${\mathrm{UConf}}_n((0,1))$.

В частности, каждая компонента связности пространств ${\mathrm{Conf}}_n((0,1))$ и ${\mathrm{UConf}}_n((0,1))$ стягиваема. Более того, в обоих случаях множество конфигураций, в которых соседние точки (вместе с точками $0$ и $1$) равноудалены друг от друга, является деформационным ретрактом объемлющего пространства: каждый «неровный» набор может быть деформирован в «ровный» путём равномерного расталкивания или сближения его элементов.

Пары точек в евклидовых пространствах

Пара $(x,y)$ различных точек на плоскости ${ℝ}^2$ однозначно определяется первой точкой $x\in {ℝ}^2$ и вектором $y-x\in {ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{0\}$, отвечающем за расположение второй точки относительно первой. Данная кодировка непрерывно зависит от исходной пары точек. Следовательно, конфигурационное пространство таких точек гомеоморфно произведению плоскости и проколотой плоскости:

${\mathrm{Conf}}_2({ℝ}^2)\cong {ℝ}^2\times {ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Данный подход обобщается на произвольное евклидово пространство ${ℝ}^m$. А именно, отображение $(x,y)\mapsto (x,y-x)$ устанавливает гомеоморфизм

${\mathrm{Conf}}_2({ℝ}^m)\cong {ℝ}^m\times ({ℝ}^m\mathrm{\setminus }\{0\})$.

В общем случае $n\ge 2$ отображение

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mapsto (x_1,x_1-x_2,x_1-x_3,\dots ,x_1-x_n)$

устанавливает гомеоморфизмШаблон:Sfn

${\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^m)\cong {ℝ}^m\times {\mathrm{Conf}}_{n-1}({ℝ}^m\mathrm{\setminus }\{0\})$.

Пространство прямых, проходящих через заданную точку в ${ℝ}^3$, гомеоморфно вещественной проективной плоскости $ℝP^2$

Похожую кодировку допускает пространство ${\mathrm{UConf}}_2({ℝ}^m)$ двухэлементных подмножеств евклидова пространства ${ℝ}^m$. Так, подобные подмножества $\{x,y\}$ однозначно определяются своим центром масс $(x+y)/2\in {ℝ}^m$, расстоянием $|x-y|\in (0,\mathrm{\infty })$ и прямой, проходящей через эти точки, которая представляет собой элемент $⟨x-y⟩\in ℝP^{m-1}$ Шаблон:Нп5 размерности $m-1$. Таким образом,

${\mathrm{UConf}}_2({ℝ}^m)\cong {ℝ}^m\times (0,\mathrm{\infty })\times ℝP^{m-1}\cong {ℝ}^{m+1}\times ℝP^{m-1}$.

В частности, пространства ${\mathrm{Conf}}_2({ℝ}^m)$ и ${\mathrm{UConf}}_2({ℝ}^m)$ гомотопически эквивалентны, соответственно, пространствам $S^{m-1}$ и $ℝP^{m-1}$.

Плоскость

Конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек плоскости ${ℝ}^2$ допускает следующуюШаблон:Sfn интерпретацию в терминах многочленов без кратных корней, предложенную Владимиром Игоревичем Арнольдом в его работе 1970 годаШаблон:Sfn.

Отождествим плоскость ${ℝ}^2$ с комплексной плоскостью $ℂ$. Множество всех приведённых многочленов степени $n$ одной комплексной переменной, то есть многочленов вида

$z^n+a_1{z}^{n-1}+a_2{z}^{n-2}+\dots +a_{n-1}z+a_n$,

где $a_1,\dots ,a_n\in ℂ$, может быть отождествлено с произведением ${ℂ}^n$. Согласно основной теореме алгебры, сопоставление набору $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ комплексных чисел многочлена

$(z-x_1)(z-x_2)\cdot \dots \cdot (z-x_n)$

задаёт сюръективное отображение произведения ${ℂ}^n$ в пространство таких многочленов. В терминах предыдущего отождествления оно может быть задано формулой

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mapsto (p_1,p_2,\dots ,p_n)$,

где $p_k$ — значение элементарного симметрического многочлена степени $k$ от $n$ переменных на кортеже $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Образом сужения этого отображения на конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_n(ℂ)$ является множество многочленов без кратных корней. Данное сужение индуцирует гомеоморфизм между конфигурационным пространством ${\mathrm{UConf}}_n(ℂ)$ и множеством приведённых многочленов степени $n$ без кратных корней одной комплексной переменной.

Изучение свойств гомеоморфизма, обратного к указанному выше, является одной из основных тем в классической теории ГалуаШаблон:Sfn.

Тройки точек на плоскости

Конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_3({ℝ}^2)$ гомотопически эквивалентно дополнению узла трилистника

Конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_3(ℂ)$ трёхэлементных подмножеств комплексной плоскости и внутренность дополнения узла трилистника гомотопически эквивалентны. Данная гомотопическая эквивалентность может быть установлена следующим образомШаблон:Sfn.

Как отмечено выше, пространство ${\mathrm{UConf}}_3(ℂ)$ гомеоморфно пространству кубических приведённых многочленов одной комплексной переменной, не имеющих кратных корней: конфигурации $\{a,b,c\}\subset ℂ$ соответствует многочлен

$f(z):=(z-a)(z-b)(z-c)=z^3-(a+b+c)z^2+(ab+ac+bc)z-abc$.

Подпространство многочленов вида $z^3+pz+q$, где $p,q\in ℂ$, является деформационным ретрактом объемлющего пространства многочленов. А именно, искомая деформация многочленов переносит центр масс их корней в начало координат и задаётся формулой

$f(z)\mapsto f_t(z):=f(z+t(a+b+c)/3)$.

Многочлен вида $z^3+pz+q$ не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $-4p^3-27q^2$ не равен нулю. Поэтому пространство таких многочленов гомеоморфно подпространству

$X:=\{(p,q)\in {ℂ}^2\mid 4p^3+27q^2\ne 0\}$

пространства ${ℂ}^2$. Далее, пространство

$Y:=\{(p,q)\in {ℂ}^2\mid 4p^3+27q^2\ne 0,|p{|}^2+|q{|}^2=1\}$

является деформационным ретрактом пространства $X$. А именно, искомая ретракция представляет собой «подкрученную» радиальную проекцию вида $(x,y)\mapsto ({\lambda }^2\cdot x,{\lambda }^3\cdot y)$, где $\lambda \in ℂ$ — определённая константаШаблон:Sfn.

Поскольку уравнение $4p^3+27q^2=0$ высекает в трёхмерной сфере

$S^3=\{(p,q)\in {ℂ}^2:|p{|}^2+|q{|}^2=1\}$

узел трилистникШаблон:Sfn, пространство $Y$ совпадает со внутренностью его дополнения.

Сферы

Неупорядоченный набор различных точек на окружности

Конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_2(S^1)$ гомеоморфно касательному пространству $T{S}^1$ окружности $S^1$ и гомеоморфно произведению $S^1\times ℝ$

Окружность

Конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_n(S^1)$ окружности допускает следующее описание в терминах конфигурационного пространства ${\mathrm{Conf}}_{n-1}((0,1))$ интервала.

Введём на окружности $S^1$ координаты, отождествив её со стандартной единичной окружностью на комплексной плоскости. Тогда отображение

$(z,s_1,\dots ,s_{n-1})\mapsto (z,z\cdot e^{2\pi i{s}_1},\dots ,z\cdot e^{2\pi i{s}_{n-1}})$

осуществляет гомеоморфизм $S^1\times {\mathrm{Conf}}_{n-1}((0,1))\to {\mathrm{Conf}}_n(S^1)$. Таким образом, конфигурационное пространство упорядоченных наборов $n$ различных точек окружности гомеоморфно произведению окружности и дизъюнктного объединения $(n-1)!$ копий открытых симплексов размерности $n-1$.

В частности, пространство ${\mathrm{Conf}}_n(S^1)$ гомотопически эквивалентно дизъюнктному объединению окружностей. Точнее, подобно случаю интервала, множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом объемлющего пространства.

Аналогичные рассуждения показывают, что множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом конфигурационного пространства ${\mathrm{UConf}}_n(S^1)$. Это множество гомеоморфно окружности, и тем самым, конфигурационное пространство гомотопически эквивалентно окружности.

Пары точек на сферах

Конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_2(S^1)$ пар различных точек на окружности $S^1$ совпадает с дополнением простой замкнутой кривой $\{(x,x)\mid x\in S^1\}$ до тора $S^1\times S^1$.

Имеется также следующая наглядная кодировка элементов $(x,y)$ пространства ${\mathrm{Conf}}_2(S^1)$. Для $x\in S^1$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм $S^1\mathrm{\setminus }\{x\}\cong ℝ$. Точнее, в случае окружности возможно сопоставить точке $y\in S^1\mathrm{\setminus }\{x\}$ координату на дуге $S^1\mathrm{\setminus }\{x\}$, проложенной в положительном направлении окружности. Данная кодировка непрерывна и устанавливает гомеоморфизм

${\mathrm{Conf}}_2(S^2)\cong S^1\times ℝ$

конфигурационного пространства пар различных точек на окружности с бесконечным цилиндром.

Данный подход частично обобщается на произвольную сферу $S^m$. Для $x\in S^m$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм $S^m\mathrm{\setminus }\{x\}\cong {ℝ}^m$. Однако в общем случае может не быть естественного способа сопоставить подобную координату каждой точке $y\in S^m\mathrm{\setminus }\{x\}$ так, чтобы кодировка осуществляла гомеоморфизм пространств ${\mathrm{Conf}}_2(S^m)$ и $S^m\times {ℝ}^m$. В действительности, она осуществляет гомеоморфизм

${\mathrm{Conf}}_2(S^m)\cong T{S}^m$

между конфигурационным пространством пар различных точек на сфере $S^m$ и его касательным пространством $T{S}^m$ сферы $S^m$. Кроме того, отображение

$S^m\to {\mathrm{Conf}}_2(S^m)$,

заданное формулой $x\to (x,-x)$, является гомотопической эквивалентностьюШаблон:Sfn. Препятствием к гомеоморфности пространств ${\mathrm{Conf}}_2(S^m)$ и $S^m\times {ℝ}^m$ является непараллелизуемость сферы $S^m$, имеющая место при $m\ne 1,3,7$.

Модель тора в квадрате с парой отождествлённых противоположных сторон

Конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^1)$ двухэлементных подмножеств окружности $S^1$ может быть получено из пространства ${\mathrm{Conf}}_2(S^1)$ следующим образом. Представим тор $S^1\times S^1$ в виде факторпространства квадрата $[0,1]\times [0,1]$ по отношению $(0,y)\sim (1,y)$ и $(x,0)\sim (x,1)$, где $x,y\in [0,1]$. Тогда пространство ${\mathrm{Conf}}_2(S^1)$ получается из данного факторпространства удалением диагонали $\{(x,x)|x\in [0,1]\}$. Чтобы получить искомое пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^1)$, требуется отождествить точки полученного пространства, симметричные относительно данной диагонали: $(x,y)\sim (y,x)$. Подобное отождествление равносильно представлению пространства ${\mathrm{UConf}}_2(S^1)$ в виде факторпространства прямоугольного треугольника с вырезанной гипотенузой

$\{(x,y)\mid x\in [0,1],y\in [0,x)\}$

по отношению $(0,x)\sim (1,x)$, где $x\in [0,1]$. Такое факторпространство гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса.

Пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^1)$ является тотальным пространством одномерного векторного расслоения над окружностью (или, что то же самое, над проективной прямой $ℝP^1$) и гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса

В общем случае сферы $S^m$ конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^m)$ допускает следующее описание.

Подмножество этого пространства, состоящее из элементов вида $\{x,-x\}$, где $x\in S^m$, гомеоморфно вещественному проективному пространству $ℝP^m$: паре диаметрально противоположных точек на $S^m$ соответствует прямая в ${ℝ}^{m+1}$. Данное подмножество является деформационным ретрактом объемлющего пространства ${\mathrm{UConf}}_2(S^m)$: каждая неантиподальная пара $\{x,y\}$ может быть равномерно деформирована в антиподальную путём расталкивания точек $x$ и $y$ вдоль единственной содержащей их большой окружности сферы $S^m$. Например, в случае $m=1$ искомое проективное пространство $ℝP^1$ вкладывается посредством вышеописанного гомеоморфизма во внутренность ленты Мёбиуса в виде её сердцевины (или средней окружности), а деформационная ретракция стягивает каждый перпендикулярный сердцевине интервал ленты Мёбиуса в точку.

Само пространство ${\mathrm{UConf}}_2(S^m)$ гомеоморфно тотальному пространству $m$-мерного векторного расслоения ${\gamma }^{\mathrm{\perp }}$ над $ℝP^m$, где символ $\gamma \subset {ℝ}^{m+1}$ обозначает одномерное тавтологическое расслоение над $ℝP^m$, а символ ${\gamma }^{\mathrm{\perp }}$ — его ортогональное дополнениеШаблон:Sfn.

Тройки точек на сферах

Конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_3(S^2)$ допускает следующее описание.

Отождествим сферу $S^2$ с Шаблон:Нп5 размерности один, то есть со сферой Римана $ℂP^1$. Тогда для любой тройки $(a,b,c)\in {\mathrm{Conf}}_3(ℂP^1)$ отображение

$f\mapsto (f(a),f(b),f(c))$

устанавливает гомеоморфизм

${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)\cong {\mathrm{Conf}}_3({\mathrm{Conf}}_3(ℂP^1))$

между проективной группой преобразований Мёбиуса и конфигурационным пространством троек различных точек сферыШаблон:Sfn. В общем случае $n\ge 3$ для любой тройки $(a,b,c)\in {\mathrm{Conf}}_3(S^2)$ отображение

$(f,x_1,\dots ,x_{n-3})\mapsto (f(a),f(b),f(c),f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_{n-3}))$

устанавливает гомеоморфизмШаблон:SfnШаблон:Sfn

${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)\times {\mathrm{Conf}}_{n-3}(S^3\mathrm{\setminus }\{a,b,c\})\cong {\mathrm{Conf}}_n(S^2)$.

Шаблон:Нп5 ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{U}}_2(ℂ)$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)$ и, следовательно, её деформационным ретрактомШаблон:Sfn. Поскольку она гомеоморфна специальной ортогональной группе ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(ℝ)$ и гомеоморфна трёхмерному вещественному проективному пространству $ℝP^3$, можно заключить, что конфигурационное пространство ${\mathrm{Conf}}_3(S^2)$ гомотопически эквивалентно данным пространствамШаблон:Sfn.

Последняя гомотопическая эквивалентность следующим образом обобщается на произвольную сферу $S^m$Шаблон:Sfn.

Отображение

$(p,v)\mapsto (p,\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(v),\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-v))$

задаёт вложение

$UT{S}^m\to {\mathrm{Conf}}_3(S^m)$

Шаблон:Нп5 сферы $S^m$ в конфигурационное пространство, где символ

$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}:T{S}^m\to S^m$

обозначает экспоненциальное отображение. Образ этого вложения является деформационным ретрактом пространства ${\mathrm{Conf}}_3(S^m)$Шаблон:Sfn. Пространство $UT{S}^m$ гомеоморфно Шаблон:Нп5 $V_2({ℝ}^{m+1})$ ортонормированных $2$-реперов в ${ℝ}^{m+1}$. В случае $m=2$ имеется гомеоморфизм $V_2({ℝ}^3)\cong {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(ℝ)$.

Роль в теории кос

Петли в конфигурационном пространстве ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ представляют собой геометрические косы из $n$ нитей.

Конфигурационные пространства представляют собой естественную среду для изучения и развития теории кос. Связь с косами состоит в следующемШаблон:Sfn.

Пусть $s_1,s_2,\dots ,s_n:[0,1]\to M$ — совокупность из $n$ путей попарно различных в каждый момент времени точек в пространстве $M$, то есть путей, для которых выполняются условия $s_i(t)\ne s_j(t)$ при всех $i\ne j$ и $t\in [0,1]$. Такая совокупность естественным образом задаёт путь в каждом из конфигурационных пространств ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ и ${\mathrm{UConf}}_n(M)$, или, иными словами, непрерывное семейство конфигураций точек в $M$. Заданный так путь замкнут, то есть является петлей, если его конечная конфигурация совпадает с начальной. В случае пространства ${\mathrm{Conf}}_n(M)$ это означает равенство точек $s_k(1)=s_k(0)$ для всех $k\in \{1,2,\dots ,n\}$, а в случае пространства ${\mathrm{UConf}}_n(M)$ — равенство множеств

$\{s_1(1),\dots ,s_n(1)\}=\{s_1(0),\dots ,s_n(0)\}$.

Пусть теперь $M={ℝ}^2$. Если подобная совокупность путей $s_1,\dots ,s_n$ задаёт петлю в пространстве ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$, то она определяет набор кривых

$[0,1]\times \{1,2,\dots ,n\}\to {ℝ}^2\times [0,1]$,

заданный формулой $(t,k)\mapsto (s_k(t),t)$, который представляет собой геометрическую косу из $n$ нитей. А если пути задают петлю в пространстве ${\mathrm{Conf}}_n({ℝ}^2)$, то полученная коса является крашеной, то есть конец каждой её нити находится на том же уровне, что и начало.

В действительности фундаментальная группа конфигурационного пространства ${\mathrm{UConf}}_n(X)$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек изоморфна группе кос $B_n$Шаблон:Sfn, а фундаментальная группа конфигурационного пространства ${\mathrm{Conf}}_n(X)$ упорядоченных наборов $n$ различных точек изоморфна группе крашеных кос $P_n$Шаблон:Sfn.

Группа кос топологического пространства

Группой кос и группой крашеных кос из $n$ нитей топологического пространства $M$ называютсяШаблон:Sfn, соответственно, группы

$B_n(M):={\pi }_1({\mathrm{UConf}}_n(M))$ и

$P_n(M):={\pi }_1({\mathrm{Conf}}_n(M))$.

Например, так как

${\mathrm{UConf}}_1(M)={\mathrm{Conf}}_1(M)=M$,

имеются равенства

$B_1(M)=P_1(M)={\pi }_1(M)$.

Иными словами, группы кос обобщают фундаментальную группу. Кроме того, группы кос поверхностей тесно связаны с их группами классов отображений.

Каждому элементу $\beta \in B_n(X)$ можно сопоставить элемент симметрической группы, а именно, перестановку $\tau (\beta )\in S_n$ компонент соответствующего упорядоченного кортежа. Иными словами, эта перестановка определяется листом, содержащем конец поднятия петли $\beta$ относительно накрытия

$\pi :{\mathrm{Conf}}_n(X)\to {\mathrm{UConf}}_n(X)$.

Функция $\tau$ является гомоморфизмом и задаёт короткую точную последовательность

$1\to P_n(X)\to B_n(X)\to S_n\to 1$.

Приложения

Электростатическое отображение

Конфигурационные пространства ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^m)$ могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространства ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^m,S^m)$ сохраняющих отмеченные точки непрерывных отображений сферы $S^m$ в себя, рассматриваемого с компактно-открытой топологией. Интерес к изучению гомотопического типа данного пространства вызван тем, что, согласно Шаблон:Нп5, оно гомеоморфно следующему итерированному пространству петель:

${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^m,S^m)\cong {\mathrm{\Omega }}^m{S}^m$.

Таким образом, его гомотопические группы изоморфны гомотопическим группам сферы $S^m$:

${\pi }_k({\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^m,S^m))\cong {\pi }_k({\mathrm{\Omega }}^m{S}^m)\cong {\pi }_{k+m}(S^m)$.

Классический подход к аппроксимации состоит в следующемШаблон:Sfn.

Линии векторного поля, заданного двумя одинаковыми зарядами одного знака на плоскости.

Сопоставим каждому конечному подмножеству $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}\subset {ℝ}^m$ из $n$ элементов следующее непрерывное отображение из сферы $S^m$ в себя.

Пусть ${ℝ}^m\mathrm{\setminus }\{x_1,\dots ,x_n\}\to {ℝ}^m$ — векторное поле, представляющее собой электрическое поле, полученное путём размещения положительно заряженной частицы в каждую точку $x_i$. Данное векторное поле можно доопределить до непрерывного отображения

${ℝ}^m\cup \{\mathrm{\infty }\}\to {ℝ}^m\cup \{\mathrm{\infty }\}$

одноточечных компактификаций правилами $\mathrm{\infty }\mapsto 0$ и $x_i\mapsto \mathrm{\infty }$, где $i\in \{1,2,\dots ,n\}$. Композиция с гомеоморфизмом ${ℝ}^m\cup \{\mathrm{\infty }\}\cong S^m$ задаёт искомое непрерывное отображение из сферы $S^m$ в себя. Его степень равна $n$.

Таким образом заданное сопоставление определяет непрерывное отображение

$e:{\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^m)\to {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}_n^{\ast }(S^m,S^m)$

из конфигурационного пространства неупорядоченных наборов $n$ различных точек в подпространство пространства непрерывных отображений $S^m\to S^m$, состоящее из отображений степени $n$, переводящих отмеченную точку $\mathrm{\infty }$ слева в отмеченную точку $0$ справа. Оно называется электростатическим отображениемШаблон:Sfn и задаёт отображение

${\mathrm{UConf}}_{<\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)\to {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^m,S^m)$

из конфигурационного пространства конечных подмножеств.

Электростатическое отображение используется для гомотопической аппроксимации пространства ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^m,S^m)$. Например, в простейшем случае $m=1$ оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Точнее, каждая компонента ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}_n(S^1,S^1)$ пространства $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}(S^1,S^1)$ стягиваема: множество отображений вида $z\mapsto z^n$, где $n\in \mathbb{Z}$, является его деформационным ретрактомШаблон:Sfn. Пространство ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^1)$ также стягиваемо и гомеоморфно внутренности симплекса размерности $n$.

В общем случае отображение $e$ индуцирует изоморфизм

$e_{*}:H_p({\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^m);\mathbb{Z})\to H_p({\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}_n^{\ast }(S^m,S^m);\mathbb{Z})$

групп гомологий в размерности $p\le n/2$Шаблон:Sfn.

В случае $m=2$ данный результат свидетельствует о связи между гомотопическими свойствами конфигурационных пространств ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ и пространства $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}(S^2,S^2)$. Например, он предоставляет подход к вычислению группы

${\pi }_k({\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{s}}^{\ast }(S^2,S^2))\cong {\pi }_{k+2}(S^2)$.

Поскольку пространство ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ является асферическим, все его гомотопические свойства могут быть описаны в терминах его фундаментальной группы, изоморфной группе кос. Данный факт является косвенным подтверждением известной связи между группами кос и гомотопическими группами двумерной сферыШаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

Вышеописанные конструкции допускают следующее обобщение. Пусть $S$ и $M$ — топологические пространства. Пространство конфигураций $S$ в $M$ — это множество ${\mathrm{Conf}}_S(M)$ всех топологических вложений пространства $S$ в пространство $M$. Данное подмножество множества всех непрерывных отображений из $S$ в $M$ рассматривается с топологией, индуцированной с компактно-открытой топологии.

Если $S$ является конечным множеством мощности $n$ с дискретной топологией, то пространство ${\mathrm{Conf}}_S(M)$ гомеоморфно пространству ${\mathrm{Conf}}_n(M)$.

Аналогично можно определить обобщение ${\mathrm{UConf}}_S(M)$ пространства ${\mathrm{UConf}}_n(M)$.

См. также

• Шаблон:Нп5
• Конфигурационное пространство (физика)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web