Трёхмерная сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Вращение четырехмерного шара

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара. Возможно, вселенная имеет форму трехмерной сферы.

Уравнение

В декартовых координатах $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ трёхмерная сфера радиуса $r$ может быть задана уравнением

$(x_0-C_0{)}^2+(x_1-C_1{)}^2+(x_2-C_2{)}^2+(x_3-C_3{)}^2=r^2.$

Рассматривая комплексное пространство ${ℂ}^2$ как вещественное ${ℝ}^4$, уравнение сферы может быть рассмотрено как

$S^3=\{(z_1,z_2)\in {ℂ}^2:|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1\}.$

Аналогично, в пространстве кватернионов ${ℍ}^1$:

$S^3=\{q\in ℍ:\Vert q\Vert =1\}.$

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

$x_0=r\cos \psi ,$

$x_1=r\sin \psi \cos \theta ,$

$x_2=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi ,$

$x_3=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi .$

Свойства

Трёхмерная сфера $S^3$ является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства ${ℝ}^3$.

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера $S^3$ является группой Ли. Среди $n$-мерных сфер таким свойством обладают только $S^1$ и $S^3$.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы $S^3$ с помощью матриц Паули:

$x_1+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto \left(\begin{array}{cc}{x}_1+i{x}_2& x_3+i{x}_4\\ -x_3+i{x}_4& x_1-i{x}_2\end{array}\right).$

Поэтому группа $S^3$ изоморфна матричной группе Ли $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Если определить действие группы $U(1)$:

$(z_1,z_2)\cdot \lambda =(z_1\lambda ,z_2\lambda )\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕌(1),$

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере $S^2$. При этом на сфере $S^3$ возникает структура расслоения с базой $S^2$ и слоями, гомеоморфными $U(1)$, то есть окружности $S^1$. Это расслоение называется расслоением Хопфа.

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

$p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2).$

Точка Шаблон:Math сферы $S^3$ отображается в точку Шаблон:Math комплексной проективной прямой Шаблон:Math, которая диффеоморфна двумерной сфере $S^2$.

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа ${\pi }_1(S^3)=\{0\}$. Также нулевой является группа ${\pi }_2(S^3)=\{0\}$.

См. также

• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorldШаблон:Ref-en Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.