Экспоненциальное отображение

Пробраз поверхности Земли при экспоненциальном отображении к северному плюсу.

Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия $(M,g)$ экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения $TM$ в само многообразие $M$.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается $\exp :TM\to M$, а его сужение на касательное пространство $T_{p}M$ в точке $p\in M$ обозначается ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ и называется экспоненциальным отображением в точке $p$.

Определение

Пусть $(M,g)$ — риманово многообразие и $p\in M$. Для каждого вектора $v\in T_{p}M$ существует единственная геодезическая ${\gamma }_v(t)$, выходящая из точки $p$ (то есть ${\gamma }_v(0)=p$), такая, что ${{\gamma }_v}^{\prime }(0)=v$.

Экспоненциальное отображение вектора $v$ есть точка ${\gamma }_v(1)\in M$, или ${\exp }_{p}v={\gamma }_v(1)$.

Свойства

• ${\exp }_p(0)=p$.

• Для каждой точки $p\in M$ существует такое число $\epsilon >0$, что экспоненциальное отображение ${\exp }_p$ определено для всех векторов $v\in T_{p}M$, удовлетворяющих условию $|v|\le \epsilon$.
  • Более того, ${\exp }_p$ является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве $T_{p}M$ в некоторую окрестность точки $p$ многообразия $M$. Таким образом, в некоторой окрестности точки $p$ многообразия $M$ определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ${\log }_p$), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства $T_{p}M$.

• В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).

• Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке $p$ является тождественным линейным оператором. То есть

  $(d_p{\exp }_p)(v)=v$

для любого $v\in T_{p}M$. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к $T_{p}M$, с ним самим.

• (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых $x,v\in T_p$

  $g((d_x{\exp }_p)(v),(d_x{\exp }_p)(x))=⟨v,x⟩,$

где $d_x{\exp }_p:T_p=T_x{T}_p\to T_{{\exp }_{p}x}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Для групп Ли с биинвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной Шаблон:Iw.

Ссылки

• А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)

Литература

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.