Лемма Гаусса о геодезических

Шаблон:Дзт Ле́мма Га́усса о геодези́ческих утверждает, что любая достаточно малая сфера в риманова многообразии перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через её центр.

Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.

Формулировка

Пусть $T_p$ обозначает касательное пространство в точке $p$ риманова многообразия $(M,g)$ и ${\exp }_p:T_p\to M$ — экспоненциальное отображение.

Заметим, что для любого вектора $x\in T_p$ касательное пространство $T_x{T}_p$ к касательному пространству $T_p$ можно отождествить с самим $T_p$.

Для любых $x,v\in T_p$

$g((d_x{\exp }_p)(v),(d_x{\exp }_p)(x))=⟨v,x⟩,$

где $d_x{\exp }_p:T_p=T_x{T}_p\to T_{{\exp }_{p}x}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

Ссылки

• Шаблон:YouTube