Тринадцатая проблема Гильберта

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{q=0}^{2n}{\mathrm{\Phi }}_q(\sum _{p=1}^n{\psi }_{q,p}(x_p)).$

Функций ${\mathrm{\Phi }}_q$ и ${\psi }_{q,p}$, не считая нулевых, требуется не более $(n+1)(2n+1)$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени $n>4$ к виду, свободному от коэффициентов при $x^{n-1}$, $x^{n-2}$ и $x^{n-3}$; для $n=5$ этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5-й, 6-й и 7-й степеней сводилось к решению уравнений вида

$x^5+ax+1=0$,

$x^6+a{x}^2+bx+1=0,$

$x^7+a{x}^3+b{x}^2+cx+1=0$

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Рассматривая указанное уравнение 7-й степени, в 13 проблеме Гильберта надо ответить на вопрос: можно или нет представить общее решение уравнения

$x=x(a,b,c)$

как суперпозицию конечного числа функций от двух переменных?

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite web