Двенадцатиугольник

Шаблон:Перевести

Правильный двенадцатиугольник

Углы	12
Символ Шлефли	{12} t{6}

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (Шаблон:Lang-gr — двенадцать и Шаблон:Lang-gr — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, двенадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае двенадцатиугольника углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

\begin{matrix} A & = 3 \cos (\frac{π}{12}) a^{2} = 3 (2 + \sqrt{3}) a^{2} & ≃ 11.196152422706632 a^{2} . \end{matrix}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A = 6 \sin (\frac{π}{6}) R^{2} = 3 R^{2} .

Или, при радиусе вписанной окружности r:

\begin{matrix} A & = 12 \tan (\frac{π}{12}) r^{2} = 12 (2 - \sqrt{3}) r^{2} & ≃ 3.2153903091734737 r^{2} . \end{matrix}

Монеты

Британская монета в три пенса в форме двенадцатиугольника

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный $2 m$ -угольник (в общем случае - $2 m$ -угольный зоногон) можно разбить на $\frac{m (m - 1)}{2}$ ромбов. Для двенадцатиугольника $m = 6$ , так что он может быть разбит на 15 ромбов.