Двойной ряд

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм рядаШаблон:Sfn.

Определение

Пусть $\{a_{i,j}{\}}_{i=1,j=1}^{\mathrm{\infty }}$ — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

$\{s_{k,l}{\}}_{k=1,l=1}^{\mathrm{\infty }},$

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

$\{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}{a}_{i,j}$

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

$\sum _{i=1,j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i,j},$

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

• числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд $\{a_{i,j}\}$ сходится и имеет сумму $s$, если, каково бы ни было $\epsilon >0$, найдутся такие числа $m_0$ и $n_0$, что при $m>m_0$ и $n>n_0$ выполняется неравенство $\Vert s_{mn}-s\Vert <\epsilon$. Также условие сходимости двойного ряда к сумме $s$ можно записать в виде

$\underset{n,m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{mn}=s$.

• числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
• числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел $S$ последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

$S=\sum _{i=1,j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i,j}$

Свойства

• Пусть в сходящемся двойном ряде $\{a_{m,n}{\}}_{m,n=1}^{\mathrm{\infty }}$ с суммой $s$ сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах $s_{i*}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{a}_{ij}$ и $s^{\prime }=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^m{s}_{i*}$. Тогда $s=s^{\prime }$. Аналогично, если существуют пределы $s_{*j}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^m{a}_{ij}$ и $s^{″}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{s}_{*j}$. Тогда $s=s^{″}$Шаблон:Sfn.
• Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде $\{a_{i,j}\}$ сходятся все строки $s_{m*}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}$ и все столбцы $s_{*n}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}$. Обозначим сумму строк $s^{\prime }=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{m*}$.

Тогда:

• • $k$ - е остатки строк $r_m^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{mn}$ образуют сходящийся ряд $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_m^{(k)}$ с некоторой суммой $R_k$.
  • Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов $s^{″}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{s}_{*n}$ необходимо и достаточно существование предела $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_k=R$.
  • Для равенства $s^{\prime }=s^{″}$ необходимо и достаточно, чтобы было $R=0$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга