Двойственность Александера

Двойственность Александера — соотношение между гомологиями подпространства и когомологиями его дополнения. Открыта в 1915 году Джеймсом Александером и обобщена Павлом Сергеевичем Александровым и Львом Семёновичем Понтрягиным.

Формулировка

Обозначим через $\tilde{H}$ приведённые гомологии или когомологии с коэффициентами в произвольно заданной абелевой группе.

Пусть $X$ — компактное, локально стягиваемое подпространством сферы ${𝕊}^n$. Тогда, ${\tilde{H}}_q(X)\cong {\tilde{H}}^{n-q-1}({𝕊}^n\mathrm{\setminus }X)$ в любой размерности $q$.

Замечания

• Условие локальной стягиваемости можно отбросить, если используются гомологии Александрова — Чеха, которая специально разработана для борьбы с локальными патологиями.