Когомологии Александрова — Чеха

Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются ${\check{H}}^{*}$.

Построение

Пусть $X$ — топологическое пространство, $𝒱$ — открытое покрытие $X$. Обозначим через $N_{𝒱}$ нерв покрытия $𝒱$.

Предположим, покрытие $𝒲$ вписано в покрытие $𝒱$, то есть любое множество из $𝒲$ содержится в некотором множестве из $𝒱$. Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из $𝒲$ содержащее его множество из $𝒱$. Это отображение индуцирует отображение нервов $f:N_{𝒲}\to N_{𝒱}$. Индуцированный гомоморфизм колец когомологий $f^{*}:H^{*}(N_{𝒱},G)\to H^{*}(N_{𝒲},G)$ не зависит от выбора $f$. (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий $H^{*}(N_{𝒱},G)$ с гомоморфизмами $f^{*}$ образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

${\check{H}}^{*}(X,G)=\underleftarrow{\lim }{H}^{*}(N_{𝒱},G).$

Полученное кольцо ${\check{H}}^{*}(X,G)$ называется когомологиями Чеха пространства $X$ с коэффициентами в $G$.

Связь с другими теориями когомологий

Польская окружность

• Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличатся от сингулярных когомологий.
  • Например, если X — польская окружность, то ${\check{H}}^1(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$, тогда как $H^1(X;\mathbb{Z})=0.$
• Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу, то когомологии Чеха ${\check{H}}^{*}(X;A)$ естественно изоморфны сингулярным когомологиям $H^{*}(X;A)$.
• Если X является гладким многообразием, то когомологии Чеха ${\check{H}}^{*}(X;ℝ)$ естественно изоморфны когомологиям де Рама.

Ссылки

• Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87;
• Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Chapter 2 Appendix A