Нерв покрытия

Нерв покрытия — конструкция в топологии, дающая симплициальный комплекс по произвольному покрытию.

Понятие нерва покрытия было введёно Павлом Сергеевичем Александровым .

Определение

Пусть $\{W_{\alpha }\}$ — конечное покрытие топологического пространства $X$. Нерв покрытия $\{W_{\alpha }\}$ — это абстрактный симплициальный комплекс $N$, множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом $N$ содержит симплекс с вершинами ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ тогда и только тогда, когда

$\bigcap _{i=1}^n{W}_{{\alpha }_i}=\varnothing$.

Свойства

• (теорема о нерве) Пусть $\{W_{\alpha }\}$ — открытое покрытие паракомпактного пространства $X$. Предположим все непустые конечные пересечения элементов покрытия стягиваемы. Тогда нерв покрытия гомотопически эквивалентен $X$.
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

Вариации и обобщения

• Граф пересечений — 1-мерный остов нерва.

См. также

• Когомологии Александрова — Чеха