Дисперсия Аллана

Дисперсия Аллана (Шаблон:Lang-en, AVAR), названная в честь Дэвида В. Аллана дисперсия, основанная на двойной выборке. Является мерой стабильности частоты различных устройств, в особенности часов и генераторов. Она также известна как квадрат СКДО (среднее квадратическое относительное двухвыборочное отклонение) частоты. Отклонение Аллана так же известно как сигма-тау (sigma-tau) и равно квадратному корню из дисперсии Аллана.

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности, обусловленной шумовыми процессами, а не систематическими ошибками или несовершенствами, такими как дрейф частоты или температурные эффекты.

N-выборочная дисперсия является мерой стабильности частоты с помощью N выборок, времени Т между измерениями и времени наблюдения $\tau$.

К определению $N$-точечной дисперсии

N-точечная дисперсия вводится следующим образом:

${\sigma }_y^2(N,T,\tau )=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N({\overline{y}}_i-\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{\overline{y}}_j),$

где ${\overline{y}}_i$ — среднее значение измеряемой величины во время $i$-го измерения.

Дисперсия Аллана определяется как выборочная дисперсия при $N=2,\tau =T$:

${\sigma }_y^2(\tau )={\sigma }_y^2(2,\tau ,\tau )=⟨\frac{({\overline{y}}_{n+1}-{\overline{y}}_n{)}^2}{2}⟩,$

где под $⟨...⟩$ понимается усреднение в бесконечных пределах, ${\bar{y}}_n$ — n-ное измерение, полученное усреднением выборки длительностью $\tau$:

${\overline{y}}_n=\frac{1}{\tau }\underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int }}y(t)dt,t_{k+1}-t_k=\tau$

Примечания

Если случайная величина содержит случайное постоянное смещение, или линейную регрессию, то вклад от таких компонент в Дисперсию Аллана будет равен нулю.

Действительно, если, например, оцениваемая частота линейно нарастает, то приращение частоты на одинаковых интервалах времени будет одним и тем же, разность приращений будет равна нулю. Поэтому было бы ошибочно отождествлять эту характеристику с характеристикой точности стандартов частоты, часов или иных генераторов. Она характеризует лишь стабильность их работы. Работа стандарта частоты будет по этому критерию оценена как стабильная, даже в том случае, если подобный генератор не только "стабильно отклоняется" от требуемого значения частоты генерации, но и в случае, если скорость этого отклонения постоянна.

Подобная характеристика потребовалась в предположении о том, что уход частоты любого генератора за бесконечное время может быть бесконечным. Поэтому потребовалась оценка, являющаяся конечной даже в этом случае.

Разумеется, ни один генератор не может генерировать частоту, уход которой за бесконечное время может принимать бесконечное значение, поскольку в силу физических принципов, заложенных в его работу, любой генератор может формировать частоту лишь в ограниченном диапазоне. Шаблон:Примечания