Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Скалярные операторы

Пусть $𝕜$ — поле, $A$ — алгебра над полем $𝕜$, коммутативная и с единицей и $\mathrm{\Delta }:A\to A$ — $𝕜$-линейное отображение, $\mathrm{\Delta }\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝕜}(A,A)$. Всякий элемент алгебры $a\in A$ можно понимать как оператор умножения: $a(b)=ab,b\in A$. Операторы $a$ и $\mathrm{\Delta }$, вообще говоря, не коммутируют и равенство $a\circ \mathrm{\Delta }-\mathrm{\Delta }\circ a=[a,\mathrm{\Delta }]=0$ будет выполняться в том и только том случае, когда $\mathrm{\Delta }$ — $A$-гомоморфизм.

Определение 1. $\mathrm{\Delta }\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝕜}(A,A)$ называется дифференциальным оператором (ДО) порядка $\le n$ из $A$ в $A$, если для любых $a_0,\dots ,a_n\in A$

$[a_n,[a_{n-1},[\dots [a_0,\mathrm{\Delta }]\dots ]]]=0.$

Множество всех ДО порядка $\le n$ из $A$ в $A$ обозначается ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_{n}A$. Сумма двух ДО порядка $\le n$ будет снова ДО порядка $\le n$ и множество ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_{n}A$ устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры $A$, поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над $A$.

Дифференцирования

Точками алгебры $A$ называются $𝕜$-гомоморфизмы из $A$ в $𝕜$. Обозначим множество всех точек алгебры $A$, снабженное топологией Зарисского, через $|A|$. Элементы алгебры $A$ можно понимать как функции на пространстве $|A|$, положив $a(z)=z(a),z\in |A|$.

Определение 2. Отображение ${\mathrm{\Delta }}_z:A\to 𝕜$ называется касательным вектором к пространству $|A|$ в~точке $z\in |A|$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

${\mathrm{\Delta }}_z(fg)=f(z){\mathrm{\Delta }}_z(g)+g(z){\mathrm{\Delta }}_z(f),f,g\in A.$

Множество $T_z|A|$ всех касательных векторов в~точке $z\in |A|$ обладает естественной структурой векторного пространства над $𝕜$. Оно называется касательным пространством пространства $|A|$ в точке $z$.

Определение 3. Отображение $\mathrm{\Delta }:A\to A$ называется дифференцированием алгебры $A$ со значениями в $A$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

$\mathrm{\Delta }(fg)=f\mathrm{\Delta }(g)+g\mathrm{\Delta }(f),f,g\in A.$

Множество $D(A)$ всех дифференцирований алгебры $A$ со значениями в $A$ обладает естественной структурой левого $A$-модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование $\mathrm{\Delta }$ определяет семейство касательных векторов ${\mathrm{\Delta }}_z$ для всех точек $z\in |A|$: ${\mathrm{\Delta }}_z(f)=(\mathrm{\Delta }(f))(z)$.

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка $\le 1$:

$D(A)=\{\mathrm{\Delta }\in {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_{1}A|\mathrm{\Delta }(k)=0\mathrm{\forall }k\in 𝕜\}$.

Определен естественный изоморфизм левых $A$-модулей

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_{1}A=D(A)+A.$

Гладкие функции

Если $A=C^{\mathrm{\infty }}(M)$ — алгебра гладких функций на многообразии $M$, то $|C^{\mathrm{\infty }}(M)|$ естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что $|C^{\mathrm{\infty }}(M)|=M$.

Теорема. Пусть $\mathrm{\Delta }\in {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_{l}A,\mathrm{\nabla }\in \mathrm{D}(A)$ и $x_1,\dots ,x_n$ — система локальных координат в некоторой окрестности $U\subset M$. Тогда ограничения $\mathrm{\Delta }$ и $\mathrm{\nabla }$ на $U$ могут быть записаны в следующем виде

$\mathrm{\nabla }{|}_U=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i\frac{\partial }{\partial x_i},{\alpha }_i\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$

$\mathrm{\Delta }{|}_U=\sum _{|\sigma |=0}^l{\alpha }_{\sigma }\frac{{\partial }^{|\sigma |}}{\partial x^{\sigma }},{\alpha }_{\sigma }\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ — это векторные поля на $M$.

Общий случай

Пусть $P,Q$ — модули над $A$. Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. $𝕜$-гомоморфизм $\mathrm{\Delta }:Q\to P$ называется линейным дифференциальным оператором порядка $\le n$ из $Q$ в~$P$, если для любых $a_0,\dots ,a_n\in A$

$[a_n,[a_{n-1},[\dots [a_0,\mathrm{\Delta }]\dots ]]]=0$

Определение 5. Отображение $\mathrm{\Delta }:A\to A$ называется дифференцированием алгебры $A$ со значениями в $P$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

$\mathrm{\Delta }(fg)=f\mathrm{\Delta }(g)+g\mathrm{\Delta }(f),f,g\in A.$

Множество ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_n(P,Q)$ всех ДО порядка $\le n$ из $Q$ в $P$ является бимодулем над $A$, а множество $\mathrm{D}(P)$ всех дифференцирований $A$ в $P$ — левым $A$-модулем.

Если $A=C^{\mathrm{\infty }}(M)$ — алгебра гладких функций на многообразии $M$, то проективные конечнопорождённые $A$-модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над $M$. В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация

Функторы ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_n(P,)$ и $\mathrm{D}=\mathrm{D}()$ представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные $A$-модуль $\mathrm{\Lambda }$ и дифференцирование $d:A\to \mathrm{\Lambda }$, такие, что для любого $A$-модуля $Q$ имеет место естественный изоморфизм

$\mathrm{D}(Q)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(\mathrm{\Lambda },Q),{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(\mathrm{\Lambda },Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm{D}(Q).$

2. Существуют единственные $A$-модуль ${𝒥}^n(P)$ и ДО $j_n:P\to {𝒥}^n(P)$ порядка $\le n$, такие, что для любого $A$-модуля $Q$ имеет место естественный изоморфизм

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_n(P,Q)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A({𝒥}^n(P),Q),{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A({𝒥}^n(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_n\in {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_n(P,Q).$

Дифференцирование $d$ и ДО $j_n$ называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка $\le n$ соответственно, а модули $\mathrm{\Lambda }$ и ${𝒥}^n(P)$ — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка $n$. (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули ${𝒥}^n(P)$ и $\mathrm{\Lambda }$ довольно просто описываются "на пальцах". Именно, $A$-модуль ${𝒥}^n(P)$ порожден всевозможными элементами вида $j_n(p),p\in P$, для которых выполнены следующие соотношения:

$j_n(kp)=k{j}_n(p)\mathrm{\forall }k\in 𝕜,p\in P$,

$([a_n,[a_{n-1},[\dots [a_0,j_n]\dots ]]])(p)=0\mathrm{\forall }p\in P,a_0,\dots ,a_n\in A$,

где $([a_0,j_n])(p)=a_0{j}_n(p)-j_n(a_{0}p),([a_1[a_0,j_n]])(p)=a_1{a}_0{j}_n(p)-a_1{j}_n(a_{0}p)-a_0{j}_n(a_{1}p)+j_n(a_1{a}_{0}p)$, и так далее.

Аналогично, $A$-модуль $\mathrm{\Lambda }$ порожден всевозможными элементами вида $da,a\in A$, для которых выполнены следующие соотношения:

$d(ka)=kda\mathrm{\forall }k\in 𝕜,a\in A$,

$d(ab)=adb+bda\mathrm{\forall }a,b\in A$.

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры $A=C^{\mathrm{\infty }}(M)$ дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии $M$, а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия $M$. Например, пусть $M={ℝ}^1$, дифференциальная форма $e^{x}dx-d{e}^x\in \mathrm{\Lambda }$ отлична от нуля, но $(e^{x}dx-d{e}^x){|}_z=0\mathrm{\forall }z\in {ℝ}^1$. Модули над $C^{\mathrm{\infty }}(M)$, не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого $C^{\mathrm{\infty }}(M)$-модуля $S$ множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается $G(S)$. Модули $G(\mathrm{\Lambda })$ и $G({𝒥}^n(P))$, где $P$ — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов $\mathrm{D}$ и ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_n(P,)$ в категории геометрических модулей над $A=C^{\mathrm{\infty }}(M)$. Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля, С. Судзуки и А. М. Виноградова. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

См. также

• Коммутативная алгебра
• Гамильтонова механика
• Дифференциальная алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Связность (некоммутативная геометрия)

Литература

• Джет Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, Москва, 2000.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, В. В. Лычагин, Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений, Глава 1. Линейные дифференциальные операторы в коммутативных алгебрах М., Наука, 1986.
• А. М. Виноградов, Некоторые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, выпуск 6(210), — стр. 145–150.
• I. S. Krasil’shchik, Lectures on Linear Differential Operators over Commutative Algebras. Eprint DIPS-01/98
• Algebraic aspects of differential calculus, edited by Joseph Krasil'shchik and Alexandre Vinogradov, — Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volume 49, Issue 3, December 1997, 321 pages, ISSN: 0167-8019. (Статьи этого выпуска по отдельности доступны в электронном виде: DIPS-01/96, DIPS-02/96, DIPS-03/96, DIPS-04/96, DIPS-05/96, DIPS-06/96, DIPS-07/96, DIPS-08/96).
• I. S. Krasil’shchik, A. M. Verbovetsky, Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. and Sciences, Opava (Czech Rep.), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2.
• Alexandre M. Vinogradov, Logic of differential calculus and the zoo of geometric strujctures, arXiv:1511.06861.
• A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, — AMS "Translation of Mathematical Monographs" series, vol. 204, 247 pages, 2001.