Доверительная область

Доверительная область — обобщение понятия доверительного интервала на случай многомерного параметра целевой функции, которая аппроксимируется с помощью числовой функции, часто квадратичной: если найдена числовая функция, соответствующая точности целевой функции внутри доверительной области, то область расширяется, и наоборот, если точность аппроксимации низкая, то область сужается. Под точностью аппроксимации обычно понимается ширина доверительной области.

Метод доверительной области известен также, как одношаговый метод. В некотором смысле он двойственен методу линейного поиска — в методе доверительной области сначала выбирают размер шага (размер доверительной области), затем его направление, в методе линейного поиска выбирают, сначала направление шага, а затем его размер.

Подходящий размер вычисляется после сравнения отношения ожидаемого улучшения по числовой функции и действительного улучшения, полученного вычислением целевой функции,

В качестве критерия расширения или сужения, используется простой принцип — числовая функция достоверна только в области, где она обеспечивает приемлемую аппроксимацию.

Пример

Концептуально, в алгоритме Левенберга — Марквардта целевая функция итеративно аппроксимируется поверхностью второго порядка, затем решается соответствующая система линейных уравнений и оценка обновляется, после чего цикл повторяется до достижения нужной точности аппроксимации. Если использовать только этот алгоритм и если начальное предположение было «слишком далеко» от оптимального решения, то метод может не дать сходимости к нужной точности аппроксимации. По этой причине алгоритм ограничивает каждый шаг, предотвращая слишком «далёкую» аппроксимацию. Алгоритм определяет «слишком далеко» следующим образом. Вместо решения $A\mathrm{\Delta }x=b$ относительно $\mathrm{\Delta }x$ метод предлагает решать $(A+\lambda \mathrm{diag}(A))\mathrm{\Delta }x=b$, где $\mathrm{diag}(A)$ является диагональной матрицей с той же диагональю, что и у матрицы A, а $\lambda$ является параметром, который контролирует размер доверительной области. Геометрически, метод добавляет параболоид с центром в $\mathrm{\Delta }x=0$, что приводит к меньшему шагу каждой итерации.

Смысл заключается в том, чтобы изменять размер доверительной области ($\lambda$). На каждой итерации квадратичная аппроксимация предсказывает уменьшение целевой функции $\mathrm{\Delta }{f}_p$ (здесь и ниже $f_p$ означает полученное аппроксимацией значение, а $f_a$ означает действительное значение функции), которая ожидается меньшей по сравнению с истинным уменьшением. Если дано $\mathrm{\Delta }x$, мы можем вычислить

$\mathrm{\Delta }{f}_a=f(x)-f(x+\mathrm{\Delta }x).$

После вычисления отношения $\mathrm{\Delta }{f}_p/\mathrm{\Delta }{f}_a$ мы можем изменить размер доверительной области. В общем случае ожидается, что $\mathrm{\Delta }{f}_p$ будет чуть меньше, чем $\mathrm{\Delta }{f}_a$, так что отношение окажется в интервале между 0.25 и 0.5. Если отношение больше 0.5, то значит взят слишком большой шаг, поэтому требуется расширить доверительную область (уменьшить $\lambda$) и продолжить итерации. Если отношение меньше 0.25, то истинная функция «слишком сильно» отличается от аппроксимации в доверительной области, значит требуется уменьшить доверительную область (увеличиваем $\lambda$) и продолжить итерации.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Kranf site: Trust Region Algorithms
• Trust-region methods