Задача Брокара

Шаблон:Не путать Задача Брокара — математическая задача нахождения целых чисел m, для которых

$n!+1=m^2,$

где n! — факториал. Задача была поставлена Анри Брокаром в статьях 1876 и 1885 года и, независимо, в 1913 году Рамануджаном.

Числа Брауна

Пары чисел (n, m), решающие задачу Брокара, носят название числа Брауна. Известны только три пары таких чисел:

(4, 5), (5, 11) и (7, 71)Шаблон:Sfn.

Пал Эрдёш высказал предположение, что других решений не существует. ОверхольтШаблон:Sfn показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что abc-гипотеза верна. Берндт и ГалвейШаблон:Sfn выполнили вычисления для n вплоть до 10⁹ и не нашли других решенийШаблон:Sfn.

Варианты задачи

ДабровскийШаблон:Sfn обобщил результат Оверхольта, показав, что из abc-гипотезы следует, что

$n!+A=k^2$

имеет только конечное число решений для любого заданного числа A. Этот результат далее обобщил ЛукаШаблон:Sfn, показав (снова в предположении верности abc гипотезы), что равенство

$n!=P(x)$

имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена P(x) по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

См. также

• Окружность Брокара
• Точка Брокара
• Треугольник Брокара

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Cite web