Задача о стопке кирпичей

Сдвиги девяти блоков «наклонной башни лир»

Задача о стопке кирпичей — задача статики, заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.

Формулировка

Проблема формулируется так: Шаблон:Начало цитаты Поставить друг на друга $N$ одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов, собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален. Шаблон:Конец цитаты

История

Стопка монет: верхняя монета находится над областью, полностью находящейся вне самой низкой монеты

Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях Шаблон:Нп2 и его соавторы приводятШаблон:Sfn длинный список ссылок на эту задачу, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века.

Решения

С только одним блоком на каждом уровне

В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен $\sum _{i=1}^N\frac{1}{2i}$ ширины блока. Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда. Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом $N$, т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен $\frac{1}{2}\ln N$, т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков.

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
1	1	/2	Шаблон:Bartable
2	3	/4	Шаблон:Bartable
3	11	/12	~Шаблон:Bartable
4	25	/24	~Шаблон:Bartable
5	137	/120	~Шаблон:Bartable
6	49	/40	Шаблон:Bartable
7	363	/280	~Шаблон:Bartable
8	761	/560	~Шаблон:Bartable
9	7 129	/5 040	~Шаблон:Bartable
10	7 381	/5 040	~Шаблон:Bartable

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
11	83 711	/55 440	~Шаблон:Bartable
12	86 021	/55 440	~Шаблон:Bartable
13	1 145 993	/720 720	~Шаблон:Bartable
14	1 171 733	/720 720	~Шаблон:Bartable
15	1 195 757	/720 720	~Шаблон:Bartable
16	2 436 559	/1 441 440	~Шаблон:Bartable
17	42 142 223	/24 504 480	~Шаблон:Bartable
18	14 274 301	/8 168 160	~Шаблон:Bartable
19	275 295 799	/155 195 040	~Шаблон:Bartable
20	55 835 135	/31 039 008	~Шаблон:Bartable

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
21	18 858 053	/10 346 336	~Шаблон:Bartable
22	19 093 197	/10 346 336	~Шаблон:Bartable
23	444 316 699	/237 965 728	~Шаблон:Bartable
24	1 347 822 955	/713 897 184	~Шаблон:Bartable
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~Шаблон:Bartable
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~Шаблон:Bartable
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~Шаблон:Bartable
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~Шаблон:Bartable
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~Шаблон:Bartable
30	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~Шаблон:Bartable

С несколькими блоками на любом из уровней

Сравнение решений задачи с тремя блоками с одним (сверху) и несколькими (снизу) блоками на уровне

Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более $\frac{11}{12}$. В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали, что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен $c\sqrt[3]{N}$, то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.

См. также

• Черви Патерсона

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Публикация