Закон контрапозиции

Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»). Суть его заключается в простом умозаключении: если из истинности некоторого утверждения следует истинность другого, то в случае ложности второго утверждения первое никак не может быть истинным, поскольку иначе было бы истинным и второе.

В математической логике

В виде формулы исчисления высказываний закон контрапозиции имеет несколько видов:

• $(A\to B)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)$ — полный закон контрапозиции;
• $(A\to B)\to (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)$ — прямой закон контрапозиции;Шаблон:Sfn
• $(\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)\to (A\to B)$ — обратный закон контрапозиции.Шаблон:Sfn

$A,B$ здесь произвольные формулы. Все 3 формулы являются тавтологиями в классической логике высказываний.

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода. Повторное применение этого преобразования приводит к правилу вывода под названием modus tollens:

• $(A\to B)\to (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A);$
• $A\to B\models \mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A;$
• $(A\to B),\mathrm{\neg }B\models \mathrm{\neg }A.$

В интуиционистском исчислении высказываний прямой закон контрапозиции доказуемШаблон:Sfn, а обратный нетШаблон:Sfn. Добавление обратного закона контрапозиции к интуиционистскому исчислению высказываний превращает его в классическое.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Дедуктивное умозаключение
• Исчисление высказываний