Замкнутая геодезическая

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая $\gamma :ℝ\to M$, которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через $\mathrm{\Lambda }M$ пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии $E:\mathrm{\Lambda }M\to ℝ$, определённой формулой

$E(\gamma )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t.$

Если $\gamma$ — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая $t\mapsto \gamma (pt)$ является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если $\gamma$ является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые ${\gamma }^m$, для любого $m\in \mathbb{N}$, определённые формулой ${\gamma }^m(t):=\gamma (mt)$. Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На единичной сфере $S^n\subset {ℝ}^{n+1}$ со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.

См. также

• Укорачивающий поток
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Поверхность Цолля

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья