Инварианты Карминати — Макленахана

В общей теории относительности инварианты Карминати — Макленахана Шаблон:L6e составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана.

Определение

Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля $C_{abcd}$, его левый (или правый) дуальный тензор ${{}^{\star }C}_{acdb}$, тензор Риччи $R_{ab}$ и его бесследовую часть $S_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{4}R{g}_{ab}.$

Действительные скаляры:

1. $R={R^m}_m$ (скалярная кривизна, след тензора Риччи),
2. $R_1=\frac{1}{4}{S^a}_b{S^b}_a$,
3. $R_2=-\frac{1}{8}{S^a}_b{S^b}_c{S^c}_a$,
4. $R_3=\frac{1}{16}{S^a}_b{S^b}_c{S^c}_d{S^d}_a$,
5. $M_3=\frac{1}{16}{S}^{bc}{S}_{ef}(C_{abcd}{C}^{aefd}+{{}^{\star }C}_{abcd}{{}^{\star }C}^{aefd})$,
6. $M_4=-\frac{1}{32}{S}^{ag}{S}^{ef}{S^c}_d({C_{ac}}^{db}{C}_{befg}+{{{}^{\star }C}_{ac}}^{db}{{}^{\star }C}_{befg})$.

Комплексные скаляры:

1. $W_1=\frac{1}{8}(C_{abcd}+i{{}^{\star }C}_{abcd})C^{abcd}$,
2. $W_2=-\frac{1}{16}({C_{ab}}^{cd}+i{{{}^{\star }C}_{ab}}^{cd}){C_{cd}}^{ef}{C_{ef}}^{ab}$,
3. $M_1=\frac{1}{8}{S}^{ab}{S}^{cd}(C_{acdb}+i{{}^{\star }C}_{acdb})$,
4. $M_2=\frac{1}{16}{S}^{bc}{S}_{ef}(C_{abcd}{C}^{aefd}-{{}^{\star }C}_{acdb}{{}^{\star }C}^{aefd})+\frac{1}{8}i{S}^{bc}{S}_{ef}{{}^{\star }C}_{abcd}{C}^{aefd}$,
5. $M_5=\frac{1}{32}{S}^{cd}{S}^{ef}(C^{aghb}+i{{}^{\star }C}^{aghb})(C_{acdb}{C}_{gefh}+{{}^{\star }C}_{acdb}{{}^{\star }C}_{gefh})$.

Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны:

1. $R$ линеен по ним,
2. $R_1,W_1$ квадратичны,
3. $R_2,W_2,M_1$ кубичны,
4. $R_3,M_2,M_3$ имеют четвёртую степень, а
5. $M_4,M_5$ — пятую.

Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).

Полный набор инвариантов

Вообще полное число алгебраически независимых (то есть не выражаемых друг через друга полиномиально) инвариантов пространства-времени равно 14, однако известно, что любой набор выражений, включающий полный набор инвариантов, должен быть больше этого, при этом часть инвариантов будет связана полиномиальными уравнениями, решения которых не выражаются полиномиально — сизигиями.

Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты

$R,R_1,R_2,R_3,\mathrm{\Re }(W_1),\mathrm{\Re }(M_1),\mathrm{\Re }(M_2)$

$\frac{1}{32}{S}^{cd}{S}^{ef}{C}^{aghb}{C}_{acdb}{C}_{gefh}$

составляют полное множество инвариантов тензора Римана — то есть включают в себя все алгебраически независимые инварианты. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. В более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.

См. также

• Инвариант кривизны

Литература

• Шаблон:Статья

Ссылки

• Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.

Шаблон:Изолированная статья