Тензор Вейля

Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Назван в честь Германа Вейля.

Определение

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определённые комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

$W=R-\frac{1}{n-2}(Ric-\frac{s}{n}g)\circ g-\frac{s}{2n(n-1)}g\circ g$

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу, произведение двух симметричных тензоров валентности (0,2) есть тензор валентности (0,4), удовлетворяющий симметриям тензора кривизны:

$(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4)=$	$h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-$
	$-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4).$

В компонентах, тензор Вейля задаётся выражением:

$W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}{R}_{d]b}-g_{b[c}{R}_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R{g}_{a[c}{g}_{d]b}$

где $R_{abcd}$ — тензор Римана, $R_{ab}$ — тензор Риччи, $R$ — скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметризации.

Свойства

• Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

• Тензор Вейля остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику ${\tilde{g}}_{ij}=\mathrm{\Omega }{g}_{ij}$ при помощи некоторой функции $\mathrm{\Omega }$, то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: ${\tilde{W}}_{abc}{}^d={W_{abc}}^d$. По этой причине тензор Вейля ещё называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что
  • для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю.
  • Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным.
  • Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Конформное отображение
• Символы Кристоффеля
• Общая теория относительности
• Тензор Баха
• Тензор Шутена