Произведение Кулкарни — Номидзу

Произведение Кулкарни — Номидзу определяется для двух (0,2)-тензоров и даёт в результате (0,4)-тензор. Это произведение позволяет выразить тензор кривизны с нулевым тензором Вейля через тензора кривизны Риччи.

Обычно обозначается $\wedge ◯$.

Определение

Если $h$ и $k$ — (0,2)-тензоры, то произведение определяется как:

$h\wedge ◯k(X_1,X_2,X_3,X_4):=h(X_1,X_3)\cdot k(X_2,X_4)+h(X_2,X_4)\cdot k(X_1,X_3)-$

$-h(X_1,X_4)\cdot k(X_2,X_3)-h(X_2,X_3)\cdot k(X_1,X_4)$

где X_j векторы основного пространства.

Примеры

• Если риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну $k$ то его тензор кривизны $R$ выражается из метрического тензора $g$ следующим образом:

  $R=\frac{k}{2}\cdot g\wedge ◯g$

См. также

• Кривизна римановых многообразий

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга