Интеграл Коши — Лагранжа

Шаблон:Механика сплошных сред Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — ЛагранжаШаблон:Sfn и интеграл Лагранжа — КошиШаблон:Sfn используются термины интеграл КошиШаблон:Sfn, интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия, либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn, Шаблон:Lang-en2)

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости.

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, $𝐕$, выражается через потенциал скорости, $𝐕=\mathrm{\nabla }\phi (x,y,z,t)$, или, что то же самое, для безвихревых (Шаблон:Lang-en) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: $\mathrm{\nabla }\times 𝐕\equiv 0$Шаблон:Sfn. В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет видШаблон:SfnШаблон:Sfn

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{(\mathrm{\nabla }\phi {)}^2}{2}+\frac{p}{\rho }+gz=f(t),$

где — $p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости, $\rho$ — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), $g$ — ускорение свободного падения, $x$, $y$, $z$ — декартовы координаты (ось $z$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$ — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости $\tilde{\phi }(x,y,z,t)=\phi (x,y,z,t)-\int f(t)dt$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\rho =\rho (p)$ (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: $𝐅=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Pi },$ где $\mathrm{\Pi }(x,y,z,t)$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\phi$), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{(\mathrm{\nabla }\phi {)}^2}{2}+\int \frac{dp}{\rho (p)}+\mathrm{\Pi }=f(t).$

См. также

• Интеграл Бернулли
• Bernoulli equation for unsteady potential flow

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга