Закон Бернулли

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

Шаблон:Механика сплошных сред Зако́н Берну́ллиШаблон:Sfn (также уравне́ние Берну́ллиШаблон:SfnШаблон:Sfn, теоре́ма Берну́ллиШаблон:SfnШаблон:Sfn или интегра́л Берну́ллиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкостиШаблон:Sfn (то есть без вязкости и теплопроводности).

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 годуШаблон:Sfn для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 годуШаблон:Sfn.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Шаблон:Физическая величина Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина $\rho v^2/2+\rho gh+p$ сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

$\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh+p=\text{const}.$

Здесь

$\rho$ — плотность жидкости;

$v$ — скорость потока;

$h$ — высота;

$p$ — давление;

$g$ — ускорение свободного падения.

Шаблон:Hider Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлениемШаблон:Sfn. Могут также использоваться термины «весовое давление» $\rho gh$, «статическое давление» $p$ и «динамическое давление» $\rho v^2/2$. По словам Д. В. СивухинаШаблон:Sfn, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

$\rho gh+p_0=\frac{\rho v^2}{2}+p_0,$

где

$h$ — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

$v$ — скорость истечения жидкости,

$p_0$ — атмосферное давление.

Отсюда: $v=\sqrt{2gh}$. Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$. Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосудеШаблон:Sfn.

Другие проявления и применения закона Бернулли

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звукаШаблон:Sfn. Шаблон:Main

Вдоль горизонтальной трубы координата $z$ постоянна и уравнение Бернулли принимает вид $\frac{\rho v^2}{2}+p=\text{const}$. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насосаШаблон:Sfn.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).

Применение в гидравлике

Шаблон:Main Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» $\rho g$:

$H=h+\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}=\text{const},$

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия: Шаблон:Физическая величина

$H$ — гидравлическая высотаШаблон:Sfn или напорШаблон:Sfn,

$h$ — нивелирная высотаШаблон:Sfn,

$\frac{p}{\rho g}$ — пьезометрическая высотаШаблон:Sfn или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напорШаблон:Sfn,

$\frac{v^2}{2g}$ — скоростная высотаШаблон:Sfn или скоростной напорШаблон:Sfn.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»Шаблон:Sfn.

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Шаблон:Main Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: $\rho =\rho (p)$, что позволяет ввести функцию давленияШаблон:Sfn $𝒫=\int \frac{\mathrm{d}p}{\rho (p)}.$ В этих предположениях величина

$\frac{v^2}{2}+gh+𝒫=\text{const}$

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом $gh$ заменяется на потенциал массовой силы $\phi$. Шаблон:Hider Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости $\overrightarrow{v}=\mathrm{grad}\psi$, интеграл Бернулли в виде $\frac{\partial \psi }{\partial t}+\frac{{(\mathrm{grad}\psi )}^2}{2}+gh+𝒫=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего теченияШаблон:Sfn.

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический законШаблон:Sfn

$p=\frac{p_0}{{\rho }_0^{\gamma }}{\rho }^{\gamma },\rho =\frac{{\rho }_0}{p_0^{1/\gamma }}{p}^{1/\gamma },𝒫=-\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_0}{{\rho }_0}[1-{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }],$

то уравнение Бернулли выражается такШаблон:Sfn (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

$\frac{v^2}{2}-\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_0}{{\rho }_0}[1-{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }]=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

$\gamma =\frac{C_p}{C_V}$ — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

$p,\rho$ — давление и плотность газа,

$p_0,{\rho }_0$ — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за $p_0,{\rho }_0,$ тогда скорость истечения выражается через внешнее давление $p$ по формуле Сен-Венана — ВанцеляШаблон:Sfn:

$v^2=\frac{2\gamma }{\gamma -1}\frac{p_0}{{\rho }_0}[1-{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }].$

Термодинамика закона Бернулли

Шаблон:Main Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

$\frac{v^2}{2}+w+\phi =\text{const},s=\text{const},$

где $w$ — энтальпия единицы массы, $\phi$ — гравитационный потенциал (равный $gz$ для однородной силы тяжести), $s$ — энтропия единицы массы. Шаблон:Hider Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии ($s=\text{const}$). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скоростиШаблон:Sfn.

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоитсяШаблон:Sfn. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света $c$, интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантныхШаблон:Sfn удельной энтальпии и удельной энтропииШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Сивухин Д.В.: Механика
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли