Уравнение движения сплошной среды

Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды:

$\rho \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\mathrm{\nabla }\cdot T+\rho \overrightarrow{f}$, где

• $\rho$ — плотность в точке,
• $\overrightarrow{v}$ — скорость в точке,
• $\frac{d}{dt}$ — материальная (субстанциональная, полная) производная,
• $T$ — тензор напряжений Коши,
• $\overrightarrow{f}$ — вектор внешних массовых сил.

Историческая справка

Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г., краткая публикация в 1823 г., полная публикация — в 1828 г.).

Вид уравнения в декартовой системе координат

В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид

$\rho (\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$\rho (\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z})=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$\rho (\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z,$

где $\rho (x,y,z,t)$ — плотность сплошной среды, $v_x(x,y,z,t)$, $v_y(x,y,z,t)$, $v_z(x,y,z,t)$ — проекции скорости среды, $p_{ij}$ — компоненты тензора напряжений, $F_x(x,y,z,t)$, $F_y(x,y,z,t)$, $F_z(x,y,z,t)$ — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.

Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.

В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид

$\rho (\frac{\partial v^i}{\partial t}+v^k{\mathrm{\nabla }}_k{v}^i)={\mathrm{\nabla }}_k{p}^{ik}+\rho F^i,i=1,2,3,$

где символ ${\mathrm{\nabla }}_i$ обозначает ковариантную производную по $i$-ой координате, а по повторяющемуся индексу $k$ производится суммирование от одного до трёх.

Специальные формы уравнения

Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), $\overrightarrow{v}\equiv 0$, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия

$0=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$0=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$0=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z.$

Частными случаями уравнения движения являются

• уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
• уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
• уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).