Интерполяционные ряды

Интерполяцио́нные ряды́ вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры — бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались Эйлер, Лагранж и Лаплас, в XIX в. — Гаусс, Абель и Коши. В конце XIX в. обобщение задач интерполирования послужило одним из источников проблемы моментов в работах Чебышёва, Стилтьеса и Маркова.

Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс, определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов ${\mathrm{\Phi }}_i(i=0,1,2,\dots )$ в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций ${\phi }_j(j=0,1,2,\dots )$, что

${\mathrm{\Phi }}_i[{\phi }_j]={\delta }_{ij},$

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера (${\delta }_{ij}=1$, если $i=j$; иначе ${\delta }_{ij}=0$). Последовательность ${\phi }_j(x)$ называется базисом фундаментальных полиномов интерполяционного процесса. Интерполяционным рядом функции $f(x)$ называется формальное выражение

$\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_k[f]{\phi }_k(x).$

Если этот ряд сходится, то его сумма $S(x)$ удовлетворяет равенствам

${\mathrm{\Phi }}_k[S(x)]={\mathrm{\Phi }}_k[f(x)]$

при $k=0,1,2,\dots$ независимо от того, равна сумма $S(x)$ исходной функции $f(x)$ или нет. Совокупность этих равенств выражает обобщение обычной задачи интерполирования функции по её значениям в последовательности точек.

Литература

• Евграфов М. А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. М.: Гостехиздат, 1954.
• Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Физматлит, 1961.
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971.
• Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
• Головинский И. А. Из истории интерполяционных рядов. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXII, 1977, с. 65-81.
• Головинский И. А. Интерполяционные ряды Лапласа. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXIV, 1979, с. 104—120.